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Balbharti Maharashtra State Board Hindi Yuvakbharati 11th Digest रचना पत्र लेखन Notes, Questions and Answers.

Maharashtra State Board 11th Hindi रचना पत्र लेखन

पत्रलेखन एक कला है आजकल इसका साहित्यिक महत्त्व भी स्वीकारा जाने लगा है। एक अच्छे पत्र की पाँच विशेषताएँ होती हैं।

1. सरल भाषा शैली।
2. विचारों की सुस्पष्टता।
3. संक्षेप एवं संपूर्णता।
4. प्रभावान्विति।
5. बाहरी सजावट।

पत्र लिखते समय निम्नलिखित वातों को ध्यान में रखना चाहिए –

1. जहाँ तक संभव हो, पत्र में स्वाभाविकता का निर्वाह होना चाहिए। पत्र में कहीं बनावटीपन नहीं होना चाहिए।
2. साधारण संबंधियों या अधिकारी या अपरिचित व्यक्तियों को लिखे पत्रों में कहीं भी अनावश्यक विस्तार या भावुकता नहीं होनी चाहिए।
3. सरकारी और कामकाजी पत्रों में कहीं अनावश्यक विस्तार या भावुकता नहीं होनी चाहिए।
4. निकट संबंधियों के लिखे पत्रों में पूर्ण आत्मीयता और स्वाभाविकता होनी चाहिए।
5. पत्र को उपयुक्त परिच्छेदों में विभाजित करके लिखना चाहिए।
6. पत्र की भाषा शुद्ध, सरल व प्रवाहपूर्ण होनी चाहिए। वर्तनी (Spelling) एवं विराम चिह्नों का समुचित प्रयोग होना चाहिए।
7. पत्र संक्षिप्त, सुव्यवस्थित, सुस्पष्ट एवं हेतुपूर्ण होना चाहिए। अनावश्यक बातों के लिए पत्र में कोई जगह नहीं होती।

पत्र के प्रकार:

1. व्यक्तिगत या पारिवारिक पत्र
2. सामाजिक पत्र
3. व्यावसायिक अथवा व्यापारिक पत्र
4. कार्यालयीन पत्र

मुख्य रूप से औपचारिक और अनौपचारिक दो तरह के पत्र माने गए है।

औपचारिक पत्र : इस पत्र में संदेश, कथ्य, अपरिचित व्यक्ति एवं अधिकारी को लिखा जाता है इसमें प्राय: कार्यालयीन पत्र, सरकारी पत्र, व्यावसायिक व व्यासपीठ पत्र तथा शिकायती पत्र आते हैं। अनौपचारिक पत्र : इसमें व्यक्तिगत; सगे संबंधियों के पत्र, घरेलू या पारिवारिक पत्र आते हैं। अनौपचारिक पत्रों में पत्र लेखक और जिसे पत्र लिखा जाता है, उसके संबंध के अनुसार अभिवादन या अभिनिवेदन में भिन्नता होती। है निम्नलिखित तालिका में सारी बातें स्पष्ट की गई हैं।

विशेष : जो संबंध छोटे-बड़े नहीं हैं या जिन संबंधो में व्यक्तिगत पत्रों जैसी नितांत आत्मीयता नहीं है बल्कि मात्र व्यावहारिकता है वहाँ ‘प्रणाम’ या ‘शुभाशीष’ जैसे किसी अभिवादन की आवश्यकता नहीं होती हैं।

पत्र का प्रारूप

अनौपचारिक पत्र

औपचारिक पत्र

पत्र के नमूने

1. व्यक्ति गत / अनौपचारिक पत्र

2. वधाई पत्र :

3. निमंत्रण पत्र:

4. भावी योजना हेतु मित्र को पत्र

(5) कार्यालयीन पत्र :

(6)

7. व्यावसायिक पत्र :

8. सामाजिक पत्र :

Balbharti Maharashtra State Board Hindi Yuvakbharati 11th Digest अपठित काव्यांश Notes, Questions and Answers.

Maharashtra State Board 11th Hindi अपठित काव्यांश

1. पद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए :

सच है, विपत्ति जब आती है,
कायर को ही दहलाती है,
सूरमा नहीं विचलित होते,
क्षण एक नहीं धीरज खोते,

विघ्नों को गले लगाते हैं,
काँटों में राह बनाते हैं।

मुख से न कभी उफ कहते हैं,
संकट का चरण न गहते हैं,
जो आ पड़ता सब सहते हैं,
उद्योग निरत नित रहते हैं,

शूलों का मूल नशाने को,
बढ़ खुद विपत्ति पर छाने को।

है कौन विघ्न ऐसा जग में,
टिक सके आदमी के मग में?
खम ठोंक ठेलता है जब नर,
पर्वत के जाते पाँव उखड़।

प्रश्न 1.
संजाल पूर्ण कीजिए –

उत्तर:

प्रश्न 2.
उत्तर लिखिए –
(i) विपत्ति में ऐसा साहस नहीं
(ii) वीर पुरुष के ताल ठोकने का परिणाम –
उत्तरः
(i) विपत्ति में ऐसा साहस नहीं – वीर पुरुष की राह में अवरोध बनकर खड़ रहने का
(ii) वीर पुरुष के ताल ठोकने का परिणाम – पर्वत का घमंड चकनाचूर हो जाता है

प्रश्न 3.
पद्यांश का भावार्थ सरल हिंदी में लिखिए
उत्तर :
प्रस्तुत पद्यांश राष्ट्रकवि ‘दिनकर’जी की कविता ‘सच्चा वीर’ से लिया गया है। इस पद्यांश में कवि ने सच्चे वीर के लक्षण बताए हैं।

विपत्ति केवल डरपोक व्यक्ति को ही भयभीत करती है। कायर विपत्ति से डरकर अपने पाँव मार्ग से पीछे खींच लेता है। लेकिन वीर पुरुष विपत्ति के सामने डटे रहते हैं। संकट में ही वीर पुरुष के धैर्य की परीक्षा होती है। बड़ा से बड़ा संकट आने पर भी वीर पुरुष घबराते नहीं।

वे अपना धैर्य और संयम बनाए रखते हैं। वे आने वाली विघ्न – बाधाओं के सामने चट्टान की तरह अडिग खड़े रहते हैं। वीर पुरुष विकट परिस्थितियों में भी संकटों से संघर्ष करते हैं और उनसे बाहर निकलने का रास्ता ढूँढ़ निकालते हैं। वे संकटों पर विजय हासिल करके ही दम लेते हैं।

वीर पुरुष संकटों से कभी प्रभावित नहीं होते। वे संकटों में न तो कभी ऊफ करते हैं और न ही संकटों के सामने कभी झुकते हैं। मंजिल की राह में आने वाली विघ्न – बाधाओं को जड़ से समाप्त कर उन पर विजय पाने के लिए वे निरंतर प्रयत्न करते रहते हैं।

संसार में ऐसी कोई भी बाधा नहीं है, जो वीर पुरुष की राह में अवरोध बनकर खड़ी होने का साहस कर सके। वीर पुरुष जब ताल ठोंककर साहस से आगे बढ़ते हैं, तो उनके सामने पर्वत भी नहीं ठहर पाते। वे पर्वत के घमंड को चकना चूर कर आगे बढ़ते हैं।

2. पद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए:

बहुत दिनों के बाद
अब की मैंने जी भर देखी
पकी-सुनहली फसलों की मुसकाने

– बहुत दिनों के बाद

बहुत दिनों के बाद
अब की मैं जी भर सुन पाया
ध्यान कूटती किशोरियों की कोकिल कंठी तान

– बहुत दिनों के बाद

बहुत दिनों के बाद
अब की मैंने जी भर सूंघे
मौलसिरी के ढेर-ढेर से ताज़े-टटके फूल

– बहुत दिनों के बाद

प्रश्न 1.
आकृति पूर्ण कीजिए –

उत्तरः

(ii) पद्यांश में आया फूल का नाम –
उत्तरः
पद्यांश में आया फूल का नाम – मौलसिरी

प्रश्न 2.
उत्तर लिखिए –
(i) फसलों की विशेषता –
(ii) फूलों की विशेषता –
उत्तर:
(i) फसलों की विशेषता – पकी-सुनहली
(ii) फूलों की विशेषता – ढेर सारे और ताज़े-टटके

प्रश्न 3.
पद्यांश में वर्णित प्राकृतिक सुषमा का वर्णन कीजिए।
उत्तरः
प्रस्तुत पद्यांश कवि नागार्जुन की कविता ‘बहुत दिनों के बाद’ कविता से लिया गया है। कवि बहुत दिनों के बाद अपने गाँव लौटा। गाँव की प्राकृतिक सुषमा देखकर कवि का मन झूम उठा। कवि ने गाँव के खेतों में पकी-सुनहली फसलें देखी। गाँव की किशोरियाँ धान कूट रही थीं।

उनके कंठ से निकले मधुर गीत कोकिल के मधुर तान की तरह प्रतीत हो रहे थे। इन मधुर गीतों को सुनकर वह संतुष्ट हो गए। कवि ने अनुभव किया कि शहरी बनावटी जीवन की अपेक्षा प्राकृतिक सुषमा से युक्त इस ग्रामीण जीवन की सादगी कितनी सुकून देती है। गाँव के मौलसिरी के ताजे-ताजे सुगंधित फूलों के ढेर देखकर वह प्रफुल्लित हुआ।

इस प्रकार गाँव में चारों ओर प्राकृतिक सुषमा बिखरी हुई थी जो कवि को तृप्ति और आनंद प्रदान कर रही थी।

3. पद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए

तू क्यों बैठ गया है पथ पर?
ध्येय न हो, पर है मग आगे,
बस धरता चल तू पग आगे,
बैठ न चलने वालों के दल में तू आज तमाशा बनकर!

तू क्यों बैठ गया है पथ पर?
मानव का इतिहास रहेगा
कहीं, पुकार-पुकार कहेगा –
निश्चय था गिर मर जाएगा चलता किंतु रहा जीवन भर!

तू क्यों बैठ गया है पथ पर?
जीवित भी तू आज मरा-सा
पर मेरी तो यह अभिलाषा
चितानिकट भी पहुँच सकूँ अपने पैरों-पैरों चलकर!

प्रश्न 1.
संजाल पूर्ण कीजिए –

उत्तरः

प्रश्न 2.
उत्तर लिखिए –
(i) कवि द्वारा मनुष्य को पूछा गया सवाल –
(ii) कवि की अभिलाषा –
उत्तरः
(i) कवि द्वारा मनुष्य को पूछा गया सवाल – ‘तू क्यों बैठ गया है पथ पर’
(ii) कवि की अभिलाषा – ‘चलते-चलते अपनी चितानिकट पहुँचने की’

प्रश्न 3.
पद्यांश का संदेश अपने शब्दों में लिखिए।
उत्तर:
‘तू क्यों बैठ गया है पथ पर’ कविता में कवि ने जीवन-पथ पर चलते – चलते हताश और निराश हो बैठ जाने वालों से कहा है कि जीवन में सतत् क्रियाशील बने रहना आवश्यक है। लक्ष्य से विमुख होकर कायरों की तरह निष्क्रिय बैठे रहना अनुचित है। ऐसे व्यक्ति जीवित रहते मृतक के समान हैं।

समाज में उपहास के पात्र बने ऐसे लोग निरर्थक जीवन जीते हैं। इसके विपरीत उत्साही व्यक्ति दृढ़ संकल्प और मजबूत इरादे के साथ निरंतर आगे बढ़ता है और अपना लक्ष्य प्राप्त करता है। उसे न तो मृत्यु का भय होता है, न ही पथ से गिरने की चिंता।

ऐसे शूरवीर और साहसी का गुणगान इतिहास भी करता है। वे सदा के लिए इतिहास में अमर हो जाते हैं। उनके आदर्श हमेशा जीवित रहते हैं। आने वाली पीढ़ी उनका अनुसरण करती है।

इस तरह प्रस्तुत कविता के द्वारा कवि ने मनुष्य को हताशा और निराशा त्यागकर लक्ष्य के प्रति आस्थावान बने रहने और जीवन पथ की चुनौतियों से संघर्ष करते हुए निरंतर आगे बढ़ते रहने का संदेश दिया है।

4. पद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए:

हो-हो भैया पानी दो,
पानी दो गड़धानी दो;
जलती है धरती पानी दो
मरती है धरती पानी दो

हो मेरे भैया..!!

अंकुर फूटे रेत में
सोना उपजे खेत में,
बैल पियासा, भूखी है गैया,
नीचे न अंगना में सोन-चिरैया,
फसल-बुवैया की उठे मुडैया,
मिट्टी को चूनर धानी दो

हो मेरे भैया…!!

प्रश्न 1.
संजाल पूर्ण कीजिए –

उत्तर:

प्रश्न 2.
उत्तर लिखिए –
(i) पानी बरसने का धरती पर परिणाम –
(ii) पानी बरसने पर मिट्टी को मिलेगी –
उत्तर:
(i) पानी बरसने का धरती पर परिणाम – तपती धरती को राहत मिलेगी, फसलें उगेंगी।
(ii) पानी बरसने पर मिट्टी को मिलेगी – धानी चूनर

प्रश्न 3.
पद्यांश का भावार्थ सरल हिंदी में लिखिए।
उत्तरः
प्रस्तुत पद्यांश, गोपालदास सक्सेना ‘नीरज’ जी की कविता ‘पानी दो’ से लिया गया है। कवि बादल भैया से पानी की माँग कर रहे है।

नीरज जी बादल भैया से कह रहे हैं, ‘हे बादल भैया, तुम धरती पर जल बरसाओ, धरतीवासियों को गुड़धानी दो। पानी के अभाव में सबकुछ सूना है। तुम जल बरसाकर तपती धरती और सूखती वनस्पतियों को जीवनदान दो। तुम्हारे जल बरसाने से रेत में अंकुर फूटेंगे, खेतों में हरियाली छा जाएगी।

खेतों में फसलें लहलहा उठेगी। हे बादल भैया, पानी के बिना किसान का बैल प्यासा है और गाय भूखी है। किसान का आँगन सूना हो चुका है। अब उसमें सोन-चिरैया फुदकने नहीं आती। हे बादल, जल बरसाओ, जिससे किसान के घर में खुशहाली आए। उसकी टूटी-फूटी मडैया पर छाजन पड़ सके। हे बादल, पानी बरसाकर तुम धरती को हरी-भरी कर दो, मिट्टी को हरी चुनरिया पहना दो।

5. पद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए:

आज सड़कों पर लिखे हैं सैकड़ों नारे न देख,
घर अँधेरा देख तू, आकाश के तारे न देख!

एक दरिया है यहाँ पर, दूर तक फैला हुआ,
आज अपने बाजुओं को देख, पतवारें न देख।

अब यकीनन ठोस है धरती, हकीक़त की तरह,
यह हकीकत देख, लेकिन खौफ़ के मारे न देख।

प्रश्न 1.
चौखट पूर्ण कीजिए –
कवि ने देखने के लिए कहा है – कवि ने न देखने के लिए कहा है
(1) ………………………………. – (1) ……………………………….
(2) ………………………………. – (2) ……………………………….
(3) ………………………………. – (3) ……………………………….
उत्तरः
कवि ने देखने के लिए कहा है। – कवि ने न देखने के लिए कहा है
(1) घर के अँधेरे को – (1) आकाश के तारे
(2) अपनी बाजुओं को – (2) सड़कों पर लिखे नारे
(3) हकीकत को – (3) पतवार

प्रश्न 2.
उत्तर लिखिए –
(i) आकाश के तारे’ देखने से कवि का तात्पर्य –
(ii) धरती के बारे में कवि की राय –
उत्तरः
(i) ‘आकाश के तारे’ देखने से कवि का तात्पर्य है सच्चाई से दूर भागना।
(ii) धरती के बारे में कवि की राय है कि धरती ठोस है।

प्रश्न 3.
पद्यांश द्वारा मिलने वाली प्रेरणा अपने शब्दों में लिखिए।
उत्तरः
प्रस्तुत पद्यांश कवि दुष्यंत कुमार जी की लिखी गजल ‘दीवारें न देख’ से लिया गया है। कवि मनुष्य के जीवन की हताशा, निराशा को समाप्त कर उसे एक नई दृष्टि देना चाहता है। आम तौर पर मनुष्य का झुकाव चमक-दमक की ओर अधिक होता है। उसमें जीवन के यथार्थ से टकराने की हिम्मत नहीं होती।

अपने घर के अँधेरे को वह नजरअंदाज कर देता है। स्वयं को शक्तिहीन मानकर अपनी जीवन नौका पतवार के भरोसे छोड़ देता है।

कवि कहते हैं इस जीवन रूपी समुंदर में मुसीबतों के तूफान तो आते रहते हैं। मनुष्य को चाहिए कि वह अपनी बाजुओं के बल पर, स्वयं पर भरोसा रखकर जीवन सागर को पार करें। मनुष्य अपनी बाजुओं को देखें और पतवार की बैसाखी के सहारे चलना छोड़ दे।

जीवन का यथार्थ धरती की तरह ठोस है। इस वास्तविकता से जुड़े रहकर ही जीवन – संग्राम लड़ा जा सकता है। जीवन की सच्चाई को जानते हुए खौफ में क्यों जीए मनुष्य? उसे एक योद्धा की तरह यथार्थ से लड़कर विजय प्राप्त करने की प्रेरणा कवि ने दी है।

Balbharti Maharashtra State Board Hindi Yuvakbharati 11th Digest अपठित गद्यांश Notes, Questions and Answers.

Maharashtra State Board 11th Hindi अपठित गद्यांश

प्रश्न 1.
गद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए:
उत्तरः
साहब सन्नाटे में आ गए। फतहचंद की तरफ डर और क्रोध की दृष्टि से देखकर काँप उठे! फतहचंद के चेहरे पर पक्का इरादा झलक रहा था। साहब समझ गए, यह मनुष्य इस समयं मरने-मारने के लिए तैयार होकर आया है। ताकत में फतहचंद उनके पासंग भी नहीं था।

लेकिन यह निश्चय था कि वह ईंट का जवाब पत्थर से नहीं, बल्कि लोहे से देने को तैयार है। यदि वह फतहचंद को बुरा-भला कहते हैं, तो क्या आश्चर्य है कि वह डंडा लेकर पिल पड़े। हाथापाई करने में यद्यपि उन्हें जीतने में जरा भी संदेह नहीं था; लेकिन बैठे-बिठाये डंडे खाना भी तो कोई बुद्धिमानी नहीं है।

कुत्ते को आप डंडे से मारिए, ठुकराइए, जो चाहे कीजिए, मगर उसी समय तक, जब तक वह गुर्राता नहीं। एक बार गुर्राकर दौड़ पड़े, तो फिर देखें, आपकी हिम्मत कहाँ जाती है? यही हाल उस वक्त साहब बहादुर का था। जब तक यकीन था कि फतहचंद घुड़की, घुरकी, हंटर, ठोकर सब कुछ खामोशी से सह लेगा, तब तक आप शेर थे; अब वह त्योरियाँ बदले, डंडा सँभाले, बिल्ली की तरह घात लगाए खड़ा है।

ज़बान से कोई कड़ा शब्द निकला और उसने डंडा चलाया। वह अधिक-से-अधिक उसे बर्खास्त कर सकते हैं। अगर मारते हैं, तो मार खाने का भी डर।

उसपर फौजदारी में मुकदमा दायर हो जाने का अंदेशा-माना कि वह अपने प्रभाव और ताकत से अंत में फतहचंद को जेल में डलवा देंगे; परंतु परेशानी और बदनामी से किसी तरह न बच सकते थे। एक बुद्धिमान और दूरंदेश आदमी की तरह उन्होंने यह कहा –

‘ओहो, हम समझ गया, आप हमसे नाराज हैं। हमने क्या आपको कुछ कहा है? आप क्यों हमसे नाराज हैं।’ फतहचंद ने तनकर कहा – ‘तुमने अभी आधा घंटा पहले मेरे कान पकड़े थे और मुझे सैकड़ों ऊलजलूल बातें कही थीं। क्या इतनी जल्दी भूल गए?’

प्रश्न 2.
संजाल पूर्ण कीजिए :

उत्तरः

प्रश्न 3.
चौखट में उत्तर लिखिए?

उत्तरः

प्रश्न 4.
(i) गद्यांश से शब्दयुग्म ढूँढ़कर लिखिए –
(1) ……………………………………
(2) ……………………………………
उत्तरः
(i) बुरा – भला
(ii) बैठे – बिठाए

(ii) लिंग परिवर्तन कीजिए –
(i) शेर – ……………………………………
(ii) नौकर – ……………………………………
उत्तरः
(i) शेर – शेरनी
(ii) नौकर – नौकरानी

प्रश्न 5.
‘ईंट का जवाब पत्थर से’ इस मुहावरे को चरितार्थ करता हुआ कोई प्रसंग 10-12 पंक्तियों में लिखिए।
उत्तरः
‘ईंट का जवाब पत्थर से देना’ एक प्रचलित हिंदी मुहावरा है। जिसका अर्थ है कड़ा प्रतिरोध करना या मुँहतोड़ जवाब देना। दुष्ट लोगों के साथ दुष्टता से पेश आना। भारतीय सेना के जाबाज सिपाही सीमा पर अपने दुश्मनों को मुँहतोड़ जवाब देकर उन्हें सबक सिखाते हैं। हमारी रोजमर्रा की जिंदगी में भी ऐसे प्रसंग देखने को मिलते हैं। एक बार सिग्नल पर एक बाइक पर सवार युवक साइकिल पर सँवार लड़की के साथ ऊलजलूल बातें कर रहा था।

लड़की उसकी गुस्ताखी के शालीनता से जवाब दे रही थी। इतने में सिग्नल हुआ और बाइक सँवार चल पड़ा। अब लड़की ने उसका पीछा किया और ऐसा सबक सिखाया कि वह जिंदगी में कभी किसी लड़की को नहीं छेड़ेगा। हाँ, लड़की के विरोध करने पर उसकी मदद के लिए अन्य लोग भी आए और अंत में पुलिस भी आई। लेकिन पहल लड़की ने की और बड़ी हिम्मत दिखाई। उस बाईक सँवार को उसने सड़क के किनारे रोककर दो तमाचे जड़ दिए।

भीड़ जमा हो गई और सब लड़की की ओर से होने के कारण लड़के को शर्मिंदा होना पड़ा। पुलिस ने उसपर एफआयआर कर दी और उसका लाईसेन्स ले लिया। जुर्माना भरना पड़ा, शर्मिंदगी उठानी पड़ी, ये हुई न ‘ईंट का जवाब पत्थर से’ वाली बात।

प्रश्न 6.
गद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए :
उत्तरः
एक बार शरीर के अंगों में लड़ाई हो गई। इसका आरंभ पैरों ने किया। वे बोले: लड्डू लाना हो या पेड़ा, कचौरी लानी हो या आलू की टिकिया, हमें ही दौड़ना पड़ता है, पर चीज़ लेते ही हाथ उसे थाम लेते हैं, मुँह चट कर जाता है, आँखें देखती हैं, पेट खा जाता है, नाक सूंघती है, हमें क्या मिलता है- हम क्यों बेगार करें! आज से हम नहीं चलेंगे, तो खाते हैं, लेते हैं, वे ही जाएँ, वे ही दौडें।

बस, पैरों की देखा-देखी औरों को भी सूझी। हाथों ने कहा: तुम चलकर जाते हो तो क्या, ढोकर तो हमीं लाते हैं, पर हमें क्या मिलता है, यह अकेला मुँह सब कुछ चट कर जाता है। उन्होंने भी अपना काम छोड़ दिया और इस तरह एक के बाद एक सभी ने छुट्टी की, पर पेट खाली रहा तो शाम को ही सब पर सुती की छाया पड़ी। दूसरे दिन बेचैनी हुई और तीसरे दिन तो सबके सब दम ही तोड़ने लगे।

हँसकर पेट ने कहा: क्यों भाई, कुछ आया मज़ा? तुम समझते थे कि सब कुछ मैं अकेला ही अपने थैले में रख लेता हूँ। अरे भोले भाइयो, यह तो सहकार की बात है। तुम सब अपना काम करके मुझ तक कुछ पहुँचाते हो और मैं अपना काम करके तुम तक कुछ पहुँचाता हूँ और यों हम सब एक-दूसरे को जीवित रखते हैं।

इसी का नाम सहकार भावना है। अंगों ने समझा और उठकर अपने-अपने काम में लगे। बस, जो हाल शरीर का है, वही समाज का है। यहाँ भी सब अपना-अपना काम करते हैं, तो समाज ठीक चलता है। नहीं तो समाज के संगठन में शिथिलता आ जाती है। अब यह बात साफ़ है कि जिसमें सहकारभावना नहीं है, वह समाज का शत्रु है और उसे समाज से जीवनशक्ति ग्रहण करने का कोई अधिकार नहीं है।

प्रश्न 7.
संजाल पूर्ण कीजिए :

उत्तरः

(i) सही विकल्प चुनकर लिखिए –
(1) अरे भोले भाइयो, …………………………………..
(अ) यह तो परोपकार की बात है।
(ब) यह तो सहकार की बात है।
(क) यह तो समझदारी की बात है।
उत्तर :
अरे भोले भाइयो, यह तो सहकार की बात हैं।

(2) जिसमें सहकार भावना नहीं है, वह …………………………………..
(अ) समाज का प्रतिनिधि है।
(ब) समाज का काँटा है।
(क) समाज का शत्रु है।
उत्तर :
जिसमें सहकार भावना नहीं है, वह समाज का शत्रु है।

(ii) उत्तर लिखिए
पेट के खाली रहने के परिणाम

उत्तरः

प्रश्न 8.
(i) निम्नलिखित शब्दों के विलोम लिखिए –
(1) सुस्ती x
(2) सहकार x
उत्तरः
(1) सुस्ती x फुर्ती
(2) सहकार x असहकार

(ii) शरीर के अंगों पर गढ़े मुहावरे लिखिए –
जैसे : पाँव – उलटे पाँव लौटना वैसे
(1) मुँह ……………………………
(2) नाक ……………………………
उत्तरः
(1) मुँह – मुँह की खाना।
(2) नाक – नाक पर मक्खी भी बैठने न देना।

प्रश्न 9.
घर में माँ छुट्टी पर चली गई तो होने वाले परिणाम 10 से 12 वाक्यों में लिखिए
उत्तरः
परिच्छेद में जो हाल सभी अवयवों का हुआ था वैसा ही कुछ मन में आ रहा है। माँ ने अगर घर में ध्यान देना बंद कर दिया तो वक्त पर कुछ भी नहीं हो पाएगा। परिवार की रेलगाड़ी ही पटरी से उतर जाएगी। घर में हाहाकार मच जाएगा। सुबह जगाने से लेकर रात सोने तक हमारी चिंता कौन करेगा?

हम सब का भोजन आदि का बंदोबस्त तो होटल से हो पाएगा और एकाध दिन मजा भी आएगा। लेकिन रोज-रोज न स्वास्थ्य के लिए और न जेब के लिए अच्छा रहेगा। माँ के बनाए भोजन में उसका प्यार जो मिला होता है वह होटल के भोजन में कहाँ से मिलेगा?

हमारी बीमारी में सबसे अधिक चिंता वहीं करती है। अब वह छुट्टी पर चली गई तो हम तो उसके बिना बीमार हो जाएँगे और हमारी देखभाल करने वाली, हमें चैन की नींद मिले इसलिए स्वयं जागने वाली नर्स तो मिलने से रही।

हमें स्कूल कॉलेजों में, पिताजी को दफ्तर में कम-से-कम इतवार की छुटटी तो मिलती ही है लेकिन माँ सप्ताह के सभी दिन और जरूरत पड़ने पर दिन के 24 घंटे हमारी सेवा शुश्रूषा में लगी रहती है। हम सब इस बात के इतने आदी हो गए हैं कि हम नहीं सह पाएँगे माँ की छुट्टी।

प्रश्न 10.
गद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए:
उत्तरः
तुलसी : फर्माइए

प्राण : (नपी-तुली आवाज में) आप फर्माइए।

तुलसी : जी साब तो…..
प्राण : साहब की ऐसी-तैसी। तुम रास्ते से हट जाओ-आदमी हो या चीन दीवार? (भीतर आकर) क्यों जनाब, यह क्या बदतमीजी है कि कोई दस मील पैदल चलकर हुजूर के दर्शन करने आए और आगे से जवाब मिलता है, (मुँह बनाकर) फर्माइए।

पति : ओह, नहीं-नहीं। आओ-आओ, कहाँ से आ रहे हो?

प्राण : जहन्नुम से- नमस्ते भाभी! (हाथ जोड़ता है और मोढ़ा सरकाकर सोफे के करीब बैठता है। पति-पत्नी भी सोफे पर बैठ जाते हैं।)

प्राण : क्या मैं पूछ सकता हूँ कि हुजूर कल पिकनिक में क्यों तशरीफ नहीं लाए?

पति : अरे क्या बताऊँ भाई, बस यों ही- कुछ देर हो गई- मैंने सोचा….

प्राण : भाभी! मैं तुम्हें बताए देता हूँ कि इन महानुभाव को, जिन्हें तुम्हारा पति होने का सौभाग्य प्राप्त है, बड़ी मजबूत नकेल की जरूरत है।

पति : अरे यार, मजाक छोड़ो। यह बताओ, कहाँ से आ रहे हो इस वक्त?

प्राण : कहाँ से आ रहा हूँ। कमाल है? तो क्या जनाब समझते हैं, मैं आपकी तरह किसी क्लब, किसी होटल, किसा बालरूम या रेसकोर्स से आ रहा हूँ। ये सब गुलछर्रे आप ही को मुबारक हों। शरीफ आदमी हूँ, शरीफों की तरह सीधा दफ्तर से आ रहा हूँ।

पति : अरे, मैं तो इसीलिए पूछ रहा था कि….. खैर, कुछ चाय-वाय पियोगे?

पत्नी : जी हाँ, चाय पीजिएगा?

प्रश्न 11.
संजाल पूर्ण कीजिए

उत्तरः

प्रश्न 12.
(i) कारण लिखिए
(1) प्राणनाथ को नौकर बदतमीज लगा।

(2) प्राणनाथ ने मित्र की पत्नी को सलाह दी कि उसके पति को मजबूत नकेल की जरूरत है।
उत्तरः
(1) क्योंकि प्राणनाथ लंबी दूरी पैदल चलकर अपने मित्र को देखने आए थे और नौकर ने दरवाजे पर उनसे पूछा था फर्माइए।
(2) क्योंकि उनका मित्र पिकनिक में नहीं आया था और न आने का उचित कारण भी नहीं बता सका।

(ii) परिच्छेद के आधार पर दो ऐसे प्रश्न बनाइए जिनके उत्तर निम्न शब्द हो –
(1) दर्शन
(2) मजाक
उत्तरः
(1) दर्शन – प्राणनाथ पैदल चलकर क्यों आए थे?
(2) मजाक – प्राणनाथ को क्या छोड़ने को कहा?

प्रश्न 13.
(i) परिच्छेद से उपसर्गयुक्त शब्द ढूँढकर लिखिए :
(1) …………………………………..
(2) …………………………………..
उत्तरः
(1) बदतमीजी
(2) सौभाग्य

(ii) अनेक शब्दों के लिए एक शब्द लिखिए
(1) ऊँट, बैल आदि की नाक में बँधी हुई रस्सी –
(2) कोई बड़ा आदरणीय व्यक्ति –
उत्तरः
(1) ऊँट, बैल आदि की नाक में बँधी हुई रस्सी – नकेल
(2) कोई बड़ा आदरणीय व्यक्ति – महानुभाव

प्रश्न 14.
‘अतिथि देवो भव’ भारतीय संस्कृति है, इसे १० – १२ पंक्तियों में स्पष्ट कीजिए :
उत्तरः
भारतीय संस्कृति की कई विशेषताएँ हैं। “अतिथि देवो भव'” भारतीय संस्कृति की एक विशेषता है। जब अतिथि को देवता ही मान लिया तो उसके लिए बड़े से बड़ी कुर्बानी भी देने को तैयार हो जाते हैं हम। पुराणों में इसके कई उदाहरण मिलते हैं।

राजा मयुरध्वज अतिथि के स्वागत के लिए खुद को आरे से चिरवाने को भी तैयार हो गए थे। यही परंपरा हम आज भी निभाते हैं। अनेक कठिनाइयों का सामना करते हए भी हम अतिथि का स्वागत करते हैं।

अतिथि सत्कार के संस्कार हम भूल नहीं सकते। अपनी इच्छाओं का समर्पण करने के लिए हम सदैव तैयार रहते हैं। यह हमारा अतिथि प्रेम ही हैं।

आज इस परंपरा में कमी जरूर आई हैं। क्योंकि पहले अतिथि छठे -छमासे आते थे। समय,धन और जगह की कमी नहीं थी और मनोरंजन के साधन भी सुलभ नहीं थे। उस समय अतिथि के पधारने पर मन आनंदित हो उठता था। आज की महानगरीय सभ्यता में समय, स्थान और धन का अभाव है।

ऐसे में अतिथि पधारने पर कई कठिनाइयों का सामना करना पड़ता हैं। फिर भी हम अतिथि का सत्कार करते ही हैं। अपनी संस्कृति को भूल नहीं सकते। और हमें भी तो कभी किसी का अतिथि बनना पड़ता हैं।

प्रश्न 15.
गद्यांश पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए:
उत्तरः
छोटे गोल मुख की तुलना में कुछ अधिक चौड़ा लगनेवाला, पर दो काली रूखी लटों से सीमित ललाट, बचपन और प्रौढ़ता को एक साथ अपने भीतर बंद कर लेने का प्रयास-सा करती हुई, लंबी बरौनियोंवाली भारी पलकें और उनकी छाया में डबडबाती हुई-सी आँखें, उस छोटे मुख के लिए भी कुछ छोटी सीधी-सी नाक और मानो अपने ऊपर छुपी हुई हँसी से विस्मित होकर कुछ खुले रहनेवाले होंठ समय के प्रवाह से फीके भर हो सके हैं, धुल नहीं सके।

घर के सब उजले-मैले, सहज-कठिन कामों के कारण, मलिन रेखाजाल से गुंथी और अपनी शेष लाली को कहीं छिपा रखने का प्रयत्न-सा करती हुई कहीं कोमल, कहीं कठोर हथेलियाँ, काली रेखाओं में जड़े कांतिहीन नखों से कुछ भारी जान पड़ने वाली पतली ऊंगलियाँ, हाथों का बोझ सँभालने में भी असमर्थ-सी दुर्बल, रूखी पर गौर बाँहें और मारवाड़ी लहँगे के भारी घेर से थकित-से, एक सहज-सुकुमारता का आभास देते हुए, कुछ लंबी उँगलियों वाले दो छोटे-छोटे पैर, जिनकी एड़ियों में आँगन की मिट्टी की रेखा मटमैले महावर-सी लगती थी, भुलाए भी कैसे जा सकते हैं!

उन हाथों ने बचपन में न जाने कितनी बार मेरे उलझे बाल सुलझाकर बड़ी कोमलता से बाँध दिए थे। वे पैर न जाने कितनी बार, अपनी सीखी हुई गंभीरता भूलकर मेरे लिए द्वार खोलने, आँगन में एक ओर से दूसरी ओर दौड़े थे। किस तरह मेरी अबोध अष्टवर्षीय बुद्धि ने उससे भाभी का संबंध जोड़ लिया था, यह अब बताना कठिन है।

मेरी अनेक सहपाठिनियों के बहुत अच्छी भाभियाँ थीं; कदाचित् उन्हीं की चर्चा सुन-सुनकर मेरे मन ने, जिसने अपनी तो क्या दूर के संबंध की भी कोई भाभी न देखी थी, एक ऐसे अभाव की सृष्टि कर ली, जिसको वह मारवाड़ी विधवा वधू दूर कर सकी।

बचपन का वह मिशन स्कूल मुझे अब तब स्मरण है, जहाँ प्रार्थना और पाठ्यक्रम की एकरसता से मैं इतनी रुआँसी हो जाती थी कि प्रतिदिन घर लौटकर नींद से बेसुध होने तक सबेरे स्कूल न जाने का बहाना सोचने से ही अवकाश न मिलता था।

प्रश्न 16.
चौखट पूर्ण कीजिए :

उत्तरः

प्रश्न 17.
(i) कारण लिखिए –
(1) भाभी की हथेलियाँ मलिन रेखाओं से गुंथी कठोर हो गई थी।
(2) लेखिका स्कूल न जाने का बहाना सोचती रहती थी।
उत्तरः
(1) क्योंकि घर के सब उजले – मैले, सहज – कठिन काम भाभी को ही करने पड़ते थे।
(2) क्योंकि मिशन स्कूल में प्रार्थना और पाठ्यक्रम की एकरसता उन्हें अच्छी नहीं लगती थी।

(ii) निम्नलिखित विधान सही है या गलत लिखिए –
(1) भाभी ने लेखिका के उलझे बाल सुलझाकर कसकर बाँध दिए थे।
(2) लेखिका की अनेक सहपाठिनियों के बहुत अच्छी भाभियाँ थीं।
उत्तरः
(1) भाभी ने लेखिका के उलझे बाल सुलझाकर कसकर बाँध दिए थे। – गलत
(2) लेखिका की अनेक सहपाठिनियों के बहुत अच्छी भाभियाँ थीं। – सही

प्रश्न 18.
(i) परिच्छेद से विलोम शब्द की जोड़ियाँ ढूँढ़कर लिखिए –
जैसे – कोमल x कठोर
वैसे – (1) ………………………………….
(2) ………………………………….
(3) ………………………………….
(4) ………………………………….
उत्तरः
(1) बचपन x प्रौढ़ता
(2) उजले x मैले
(3) सहज x कठिन
(4) उलझे x सुलझे

(ii) ‘आभास’ शब्द से नए अर्थपूर्ण शब्द बनाइए।
(1) ………………………………….
(2) ………………………………….
(3) ………………………………….
(4) ………………………………….
उत्तरः
(1) आस
(2) भास
(3) आभा
(4) सभा

प्रश्न 19.
‘विधवा समाज और परिवार से प्रताड़ित जीवन जीने पर मजबूर होती है इस तथ्य पर अपने विचार लिखिए।
उत्तरः
हमारे समाज में सामाजिक रूढियों एवं परंपराओं की बेड़ियों में जकड़ी विधवाओं की स्थिति बड़ी दयनीय है। विधवा होते ही उन पर तमाम बंदिशे लग जाती हैं। न तो वह कहीं आ जा सकती हैं न मन माफिक खा और पहन सकती है। परिवार और समाज से प्रताड़ित विधवा का जीवन घोर निराशता से भर जाता है। रंगीन वस्त्र पहनना वर्जित हो जाता है और सफेद लिबास में लिपटी रहना उसकी नियती।

दूसरा विवाह कर सुनहरे भविष्य की आशा से भी उसे वंचित कर दिया जाता है। बिना रोशनदान, बिना झरोखा, बिना नौकर चाकर और बिना पशु पक्षियों वाले अँधेरे घर में घुट – घुटकर जीने को उसे विवश किया जाता है। समाज विधवा पर संयम और अनुशासन से रहने की बंदिशें तो लगाता है पर उसके आहार – विहार, मनोरंजन एवं स्वास्थ के प्रति कठोर और उदासीन रहता है।

पति के जीवित रहते जो घर की स्वामिनी थी ,मृत्यु के बाद उसे दासी समझा जाने लगता है। बाल विधवा के साथ तो समाज और क्रूरता का व्यवहार करता है। छोटी छोटी भूलों पर उसे मारा-पिटा और दागा जाता है । उसे पशु से भी बदतर जीवन जीने को विवश किया जाता है।

समाज की घिनौनी पाशविक प्रवृत्ति के चलते बाल-विधवा को छोटी उम्र में ही प्रौढ़ और वृद्ध बनने पर मजबूर कर दिया जाता है। इस तरह विधवाओं को समाज की संकीर्ण और विकृत मानसिकता का शिकार होना पडता है।

प्रश्न 20.
परिच्छेद पढ़कर दी गई सूचनाओं के अनुसार कृतियाँ कीजिए:
उत्तरः
सन 1947 में भारत आजाद हुआ। वास्तव में व्यापार और उद्योग देश की रीढ़ की हड्डी के समान होते हैं, परंतु … समाजवादी समाज रचना का लक्ष्य होने से सरकार ने इनके विकास की ओर ध्यान नहीं दिया। मुक्त और उदार अर्थव्यवस्था से … ही आर्थिक और औद्योगिक विकास संभव है- इस बात को समझने में हमारे नेताओं को चौंतीस वर्ष लगे।

शंतनुराव जी आरंभ से ही इस नीति के समर्थक थे। उनके विचारों के अनुसार ‘सादा रहन-सहन’ ही बेरोजगारी की जड़ है। रोजगारी से निर्माण हुई वस्तुओं का प्रयोग किए बिना रोजगारी कैसे चलेगी? यदि कोई शानदार बंगला, श्रेष्ठ संगीत, बढ़िया कपड़ा या साड़ी इस्तेमाल ही न करे, तो देश में गरीबी और बेरोजगारी बढ़ती ही जाएगी। इनको रोकने के लिए हर एक को अपनी जरूरतें बढ़ानी होंगी।

उद्यमकर्ता कामगारों का शोषण नहीं करता, उल्टे-उन्हें काम देकर गरीबी की खाई से बाहर निकालता है।

आधुनिक जेटयुग के इस महापुरुष ने किर्लोस्कर ब्रदर्स कंपनी के अंतर्गत विभिन्न उत्पादन, व्यवसाय करने वाली लगभग चालीस कंपनियाँ खोलकर उसे किर्लोस्कर उद्योग समूह में परिवर्तित किया। वे कहा करते, “जो भी काम करो, बढ़िया ढंग से करो और उसमें सफलता पाने के लिए मुसीबतों की परवाह न करते हुए, अंत तक मन को थकने न दो।”

आपने इंजीनियरी क्षेत्र के अलावा होटल, परामर्शसेवा (कन्सलटन्सी), संगणक, लीजिंग तथा फाइनान्स आदि क्षेत्रो में भी भरसक योगदान दिया।

आपको 1965 में पद्मश्री, सन 1984 में ‘मराठा चेंबर ऑफ कॉमर्स’ की मानद सदस्यता और सन 1988 में पुणे विश्वविद्यालय की डी. लिट. उपाधि से सम्मानित किया गया। इनके अलावा इंजीनियरी क्षेत्र में उल्लेखनीय कार्य करने के उपलक्ष्य में उन्हें विभिन्न पुरस्कार मिले। औद्योगिक क्षेत्र में उनका जो महत्त्वपूर्ण अंशदान रहा, उसी के कारण आपको औद्योगिक क्षेत्र के भीष्माचार्य’ कहा जाता है।

प्रश्न 21.
संजाल पूर्ण कीजिए।

उत्तरः

प्रश्न 2.
(i) कारण लिखिए –
(1) सादा रहन-सहन ही बेरोजगारी की जड़ है।
(2) शंतनुराव को औद्योगिक क्षेत्र के भीष्माचार्य कहा जाता है।
उत्तरः
(1) क्योंकि शानदार बंगला, श्रेष्ठ संगीत, बढ़िया कपडे इस्तेमाल ही न करेंगे तो देश में गरीबी और बेरोजगारी बढ़ती ही जाएगी।
(2) क्योंकि उनका औद्योगिक क्षेत्र में बहुत बड़ा योगदान रहा है।

(ii) सही विकल्प चुनकर लिखिए –
(1) व्यापार और उद्योग …………………………… की रीढ़ की हड्डी के समान होते हैं। (व्यक्ति / देश / समाज)
(2) मुक्त और उदार …………………………… से ही आर्थिक और औद्योगिक विकास संभव है। (अर्थव्यवस्था / नीति संस्कार)
उत्तरः
(1) व्यापार और उद्योग देश की रीढ़ की हड्डी के समान होते है।
(2) मुक्त और उदार अर्थव्यवस्था से ही आर्थिक और औद्योगिक विकास संभव है।

प्रश्न 3.
(i) अंग्रेजी शब्दों के हिंदी अर्थ लिखिए :
(1) फाइनान्स – ……………………………
(2) कॉमर्स – ……………………………
(3) इंजीनियरी – ……………………………
(4) चेंबर – ……………………………
उत्तरः
(1) फायनान्स – वित्त
(2) कॉमर्स – वाणिज्य
(3) इंजीनियरी – तकनिकी
(4) चेंबर- कक्ष

(ii) निम्नलिखित शब्दों के विलोम लिखिए :
(1) आजाद x ……………………………
(2) समर्थक x ……………………………
(3) पुरस्कार x ……………………………
(4) सम्मानित x ……………………………
उत्तरः
(1) आजाद x गुलाम
(2) समर्थक x विरोधक
(3) पुरस्कार x दंड
(4) सम्मानित x अपमानित

प्रश्न 4.
सफल उद्योजक के गुण 10-12 वाक्यों में लिखिए।
उत्तरः
सफल उद्योजक बनने के लिए चुनौतियों से भरी राह पर निरंतर गतिशील रहते हुए आगे बढना होगा। उत्पादन के लिए महत्त्वपूर्ण है कच्चा माल, मशीनें और कर्मचारी जो प्रशिक्षित हो। इन तीनों के अभाव में उत्पादन संभव नहीं। ये तीनों हैं और उत्पादन भी अच्छी तरह से हो गया तो उत्पादन को बेचने के लिए बाजार भी चाहिए। उद्योजक को चाहिए कि वह अपने उत्पादन का स्तर हर हाल में उच्च कोटी का रखे, जो भी उत्पादन हो वह बढ़िया से बढ़िया हो।

हर समस्या को बारिकी से जानने समझने की जिज्ञासा उसमें हो, कठिनाइयों से जूझने की दृढ़ता उसमें हो। जोखिम स्वीकारने के लिए वह सदैव तत्पर रहे। वह दूरदर्शी होना चाहिए, अगले 50-100 वर्षों का अनुमान लगाने की क्षमता उसमें हो। उसका दृष्टिकोण व्यावहारिक हो।

अपने कर्मचारियों के प्रति विश्वास और स्वयं पर भरोसा होना चाहिए। बाजार की प्रतिस्पर्धा में टिकने के लिए अनगिनत कष्ट उठाने की उसकी तैयारी होनी चाहिए। वह पहले दर्जे का संयोजक एवं प्रबंधक होना चाहिए और सबसे महत्त्वपूर्ण बात वह महत्त्वाकांक्षी होना चाहिए। इतने सारे गुण जिस उद्योजक के पास है वह नाम और शोहरत कमाएगा और सफलता की चोटी पर पहुँचेगा।

Balbharti Maharashtra State Board Hindi Yuvakbharati 11th Digest रचना निबंध लेखन Notes, Questions and Answers.

Maharashtra State Board 11th Hindi रचना निबंध लेखन

निबंध लेखन :

गद्य लिखना अगर कवियों की कसौटी है तो निबंध लिखना गद्यकारों की कसौटी है। निबंध शब्द दो शब्दों से मिलकर बना है नि-बंध। बंध का अर्थ है बाँधना या बंधा हुआ इसमें लगे ‘नि’ उपसर्ग का अर्थ होता है अच्छी तरह से। अत: निबंध का तात्पर्य उस रचना से है जिसे अच्छी तरह बाँधा गया हो।

किसी भी विषय पर अपने भाव, विचार, अनुभव जानकारी इत्यादि को अपनी शैली में क्रमबद्ध कर अभिव्यक्त करना ही निंबध है। निबंध कैसे लिखा जाय? यह महत्त्वपूर्ण है। भाषा शैली का इसमें विशेष महत्त्व है।

निबंध लेखन में महत्त्वपूर्ण बातें

उपर्युक्त क्रम से अंकित एक से बारह तत्त्वों को अनुच्छेद के अनुसार व्यक्त किया जा सकता है। इसी रूप में निबंध को विस्तार दिया जाता है। यदि इसको संक्षिप्त करना है तो दो तत्त्वों को एक अनुच्छेद में समाहित कर अभिव्यक्त किया जा सकता है।

विषय को भली प्रकार से समझ बूझकर उसकी भूमिका बाँधनी चाहिए और विषय प्रवेश के साथ उसके महत्त्व को उजागर करना चाहिए। विस्तार में विषय के प्रकार, शिक्षा विकास, सामाजिक महत्त्व आदि दिखाना चाहिए। विचार स्पष्ट, तर्कपूर्ण एवं सुलझा हुआ होना चाहिए। निबंध में विषयांतर एवं पुनरुक्ति दोष से बचना आवश्यक होता है।

निबंध के संपादन के साथ-समापन भी आकर्षक होना चाहिए। इसमें लेखक का अपना विचार होना आवश्यक होता है। निबंध की भाषा सरल, प्रभावी व व्याकरणनिष्ठ होनी चाहिए। वाक्य जितने छोटे व स्पष्ट होंगे, निबंध उतना ही प्रभावशाली होगा।

निबंध को प्रभावशाली बनाने के लिए प्रसिद्ध काव्य पंक्तियों, उक्तियों, मुहावरों, सटीक लोकोक्तियों व घटनाओं का प्रयोग किया जा सकता है। वर्तनी की शुद्धता के साथ विराम चिह्नों का प्रयोग कुशलता पूर्वक करना चाहिए।

निबंध के प्रकार : निबंध पाँच प्रकार के होते हैं :

1. वर्णनात्मक निबंध
2. कथात्मक या विवरणात्मक निबंध
3. कल्पनात्मक निबंध
4. आत्मकथात्मक निबंध
5. विचारात्मक निबंध।

(1) वर्णनात्मक निबंध : इस निबंध में वर्णन की प्रधानता रहती है। वर्णन में कभी-कभी निजी अनुभूति एवं कल्पना का रंग भी भरना पड़ता है। वस्तु, स्थान, घटना, प्रसंग, यात्रा, अनुभव आदि का रोचक वर्णन किया जाता है। प्राकृतिक दृश्य, त्योहार, उत्सव में एक घंटा आदि निबंध इसी प्रकार के अंतर्गत आते हैं। ‘वर्षा का एक दिन’ निबंध भी इसी के अंतर्गत आता है।

(2) कथात्मक या विवरणात्मक निबंध : किसी घटना अथवा कथा का विवरण, किसी प्रसंग का चित्रण या निरूपण, किसी की जीवन कथा, या आत्मकथा आदि का समावेश इस प्रकार के निबंधों में होता है। निर्जीव वस्तु की आत्मकथा भी यथार्थ का भ्रम करा सके, ऐसी शैली में लिखना चाहिए। जैसे – महात्मा गांधीजी, रेल दुर्घटना, बाढ़ का प्रकोप आदि निबंध।

(3) कल्पनात्मक निबंध : जिन निबंधों में कल्पना तत्त्व की प्रधानता होती है, उसे कल्पना प्रधान निबंध कहते हैं। इसके अंतर्गत जो बात नहीं होती, उसकी कल्पना की जाती है, कभी असंभव – सी बातों को संभव माना जाता है। लेखक कल्पना की ऊँची उड़ान ले सकता है। इस प्रकार के निबंधों के अंतर्गत यदि – होता, अगर …… न होता, मेरी अभिलाषा आदि विषय हैं। जैसे – यदि परीक्षा न होती, अगर मैं बंदी होता, अगर मैं प्रधानमंत्री होता आदि।

(4) आत्मकथात्मक निबंध : इसमें किसी वस्तु, प्राणी या व्यक्ति की आत्मकथा होती है। विद्यार्थी अपने आपको वह वस्तु, प्राणी या व्यक्ति मानकर निबंध लिखता है। इसमें लेखक कल्पना की उड़ान भर सकता है। इसमें जीवित व निर्जीव दोनों तरह की घटना का आरंभ उत्तम पुरुष से होता है। इसमें किसी के दुःख-सुख के साथ लेखक अपने विचारों को भी प्रस्तुत करता है। जैसे – कुर्सी की आत्मकथा, फूल की आत्मकथा, फटे पुस्तक की आत्मकथा आदि।

(5) विचारात्मक निबंध : ऐसे निबंधों में विचार प्रमुख होता है इसमें कल्पना का पुट न के बराबर होता है। इसका आधार तर्क या प्रमाण होता है। किसी के पक्ष या विपक्ष में सकारात्मक तथा नकारात्मक तथ्यों का संपादन बड़ी कुशलता से किया जाता है। समीक्षा व आकलन इस निबंध का आधार होता है।

गरीबी एक अभिशाप, माँ की ममता, वृक्ष लगाओ देश बचाओ, विविधता में एकता, वही मनुष्य है कि जो मनुष्य के लिए मरे, जीवन का लक्ष्य, आदर्श मित्र, आदर्श विदयार्थी, सदाचार का महत्त्व, समय का सदुपयोग, परोपकार, राष्ट्रभाषा की समस्या, समाचार पत्र, विज्ञान-वरदान या अभिशाप, स्त्री भ्रूण हत्या, भ्रष्टाचार उन्मूलन आदि विषय इसके अंतर्गत आते हैं।

Maharashtra Board Class 11 Hindi निबंध

1. होली का त्यौहार

हमारे यहाँ त्योहारों का सिलसिला वर्षभर चलता है। इसीलिए हमारे देश को त्योहारों का देश कहते हैं। ईद, बकरी ईद, ओणम, पोंगल, बैसाखी, रक्षा बंधन, होली, दशहरा, दीपावली, इत्यादि प्रमुख त्योहार हैं। होली रंगों का त्यौहार है।

होली का त्योहार मनाने के पीछे धार्मिक कारण है। कहते हैं कि हिरण्यकश्यप नामक शैतान, प्रहलाद जैसे ईश्वर भक्त बेटे का पिता था, जो घमंड के कारण अपने आप को ईश्वर समझता था। उसकी एक बहन होलिका थी जिसे वरदान था कि वह अग्नि में नहीं जलेगी।

होलिका अपने भाई की मदद के लिए प्रहलाद को लेकर जलती हुई अग्नि में बैठ गई। नारायण की कृपा से प्रहलाद तो बच गया लेकिन होलिका जल गई। तभी से होलिका दहन किया जाने लगा। यह असत्य पर सत्य की विजय का पर्व है। जिसके दूसरे दिन लोग रंगों से एक दूसरे का स्वागत करते हैं।

हमारा देश किसानों का देश है। यह उनकी फसलों का भी त्योहार है। फसल का रसास्वादन होली की खुशी लेकर आता है। लोग एक-दूसरे को अबीर-गुलाल लगाकर नाचते-गाते हैं। इस दिन शैतान को कबीरा सुनाकर ताना भी मारा जाता है। होली के गीत अत्यंत मनोरंजक व आकर्षक होते हैं।

भगवान श्री कृष्ण राधा के साथ होली खेलते थे। बरसाने और ब्रज की लठमार होली आज भी उसी उमंग से मनाई जाती है। लोग मिठाई बाँटते हैं, ठंडाई पीते हैं। अपने गिले-शिकवे मिटाकर एक-दूसरे को गले लगाते हैं। सभी होली के रंग में घुल-मिल जाते हैं।

कुछ गलत परंपराएँ चल पड़ी हैं जिसे रोकना अनिवार्य है। जैसे – गंदा पानी, कीचड़, गोबर, पेंट, शराब व भाँग का प्रचलन। नशे की हालत में किया गया व्यवहार इस सुंदर पर्व को बदरंग कर देता है, जिससे आर्थिक नुकसान के साथ आपसी दुश्मनी को बढ़ावा मिलता है। घातक रंगों के प्रयोग से आँखों की रोशनी पर भी कुप्रभाव पड़ता है।

होली के स्नेह सम्मेलन एक – दूसरे को आपस में जोड़ते हैं-

होली के दिन दिल मिल जाते हैं
रंगों में रंग मिल जाते हैं।
गिले-शिकवे सभी भूल कर
दुश्मन भी गले मिल जाते हैं।

यदि गंदगी फूहड़ता तथा नशे पर रोक लगाई जा सके, तो इससे उत्तम पर्व कोई भी नहीं हो सकता।

2. राष्ट्रभाषा हिंदी

राष्ट्रभाषा हमारे विचारों की संवाहक होती है। इसके माध्यम से हम अपने भावों और विचारों को अभिव्यक्त करते हैं। प्रत्येक देश की भाषा उसकी अपनी पहचान होती है। उसका संपूर्ण कार्य उसी भाषा में होता है। राष्ट्रभाषा किसी राष्ट्र के उद्गार का माध्यम होती है। फ्रांस, चीन, जर्मनी, जपान, रूस अपनी भाषा की बदौलत आज पूरे विश्व में अपनी पहचान बनाए हुए हैं और महाशक्ति के रूप में जाने जाते हैं।

हमारे देश की सर्वाधिक जनता हिंदी भाषा का प्रयोग करती है, इसी कारण महात्मा गांधीजी ने कहा था कि हिंदी ही राष्ट्रभाषा बनने योग्य हैं। इसीलिए 14 सितंबर 1949 को भारतीय संविधान में हिंदी को राष्ट्रभाषा के रूप में प्रस्तावित किया गया। पूरे देश को हिंदी सीखने के लिए 15 वर्ष का समय दिया गया। इसे 14 सिंतबर 1964 से कार्यान्वित करने का भी प्रस्ताव था किंतु राजनैतिक कारणों से हिंदी को राष्ट्रभाषा के रूप में आज भी संसद में पारित नहीं किया गया है।

जिस देश की अपनी कोई भाषा नहीं, वह देश या राष्ट्र गूंगा है।

भूतपूर्व प्रधान मंत्री अटल बिहारी वाजपेयीजी ने हिंदी को संयुक्त राष्ट्र संघ की भाषा तो बना दिया किंतु राष्ट्रभाषा हिंदी संसद की भाषा नहीं बन सकी। मारीशस, फिजी, त्रिनिदाद, सूरीनाम, गुयाना, कनाडा, इंग्लैण्ड, नेपाल आदि देशों में हिंदी की अपनी एक अलग पहचान है। भारत में यह षडयंत्र की शिकार है।

14 सिंतबर को हर वर्ष ‘हिंदी दिवस’ मनाया जाता है। जब तक हम व्यावहारिक रूप में राष्ट्रभाषा को स्वीकार नहीं करते तब तक भारत के संपूर्ण विकास पर प्रश्न चिह्न लगा रहेगा।

राष्ट्रभाषा हिंदी ही है, जो पूरे-देश को एक सूत्र में बाँधने की क्षमता रखती है। इसे शिक्षा का माध्यम बनाने से हमारे देश में अत्यधिक बहुमुखी प्रतिभाएँ निकल कर आगे आएँगी। महात्मा गांधीजी ने भी स्वीकार किया था कि शिक्षा मातृभाषा में होनी चाहिए; उच्च व तकनीकी शिक्षा भी हिंदी माध्यम से दी जा सकती है।

3. भ्रष्टाचार :

एक राष्ट्रीय अभिशाप । एक समय था जब चुनाव से पहले हर राजनैतिक दल इस देश से भ्रष्टाचार मिटाने का वादा किया करते थे। देश में चुनाव होते गए और राजनैतिक दल अदल-बदल कर सत्तारूढ़ होते गए। जैसे-जैसे दिन बीतता गया इस देश में भ्रष्टाचार बढ़ता गया, अब तो आकंठ डूबे भ्रष्टाचार और राजनेता एक-दूसरे के पर्याय बन गये हैं। अब कोई भी राजनैतिक दल भ्रष्टाचार मिटाने की बात नहीं करता। सभी इस विशालकाय दैत्य के सामने नतमस्तक हैं।

भ्रष्टाचार का अर्थ है दूषित आचरण या बेईमानी। आज भ्रष्टाचार की काली छाया संपूर्ण देश में अमावस्या की तरह व्याप्त हो गई है और सत्तासीन लोग भ्रष्टाचार मिटाने के नाम पर बहती गंगा में हाथ धो रहे हैं। अब भ्रष्टाचार के नाम पर नाक-भौं सिकोड़ने की बजाय इसे अंगीकार कर लिया गया है।

आज भी कुछ लोग ऐसे हैं, जो भ्रष्टाचार से कोसों दूर हैं किंतु वे भ्रष्टाचारियों का विरोध करने की हिम्मत नहीं जुटा पाते। दुःस्साहस करनेवाले मुँह की खाते हैं उनकी आवाज नक्कारखाने में तूती की आवाज बनकर रह जाती है।

वैसे तो भ्रष्टाचार कमोबेश पूरे विश्व में व्याप्त है किंतु हमारे देश में यह सिंहासनारूढ़ है। इसका कारण है हमारे देश की चुनाव पद्धति। जिसे जीतने के लिए प्रत्याशी पानी की तरह पैसा बहाते हैं। अपनी सेवानिष्ठा ईमानदारी, योग्यता के बल पर न ही कोई चुनाव लड़ता है और न ही जीत पाता है। चुनाव में सफल होने पर वह हर हाल में अपना खर्च किया हुआ पैसा ब्याज के साथ वसूलता है। पैसे की प्राप्ति की अधीरता ही उसे भ्रष्टाचारी बनने को मजबूर करती है।

इसका दूसरा कारण है भौतिकवादी सभ्यता का प्रसार और पाश्चात्य देशों का अंधानुकरण। लोग सारे नियम कानून को ताक पर रखकर पैसा कमाने के चक्कर में भ्रष्टाचारी बन जाते हैं। चारों तरफ धन बटोरने की अफरा-तफरी मची हुई है। लोग विदेशी बैंकों में पैसे जमा करते जा रहे हैं।

आज का प्रत्यक्ष आकड़ा बताता है कि भारतीय भ्रष्टाचारियों का चौदह हजार लाख करोड़ रुपया विदेशी बैंकों की शोभा बढ़ा रहा है जो निश्चित रूप से काला धन है। सबने इसे अपनी जीवन पद्धति में शामिल कर लिया है।

नशीले पदार्थो का व्यापार कानून व्यवस्था के रखवालों के हाथ की कठपुतली बन चुका है। देश का युवावर्ग भ्रष्टाचारियों को आदर्श मानकर उसी रास्ते पर चल रहा है। उनके मन से राष्ट्राभिमान और राष्ट्र-प्रेम लुप्त होता जा रहा है। तकनीकी और प्राथमिक शिक्षण व्यवसाय बन चुका है।

बाबा रामदेव, अन्ना हजारे जैसे लोग इसके खिलाफ आवाज उठाते हैं। यदि हम राष्ट्र को विश्व की प्रथम पंक्ति में बिठाना चाहते है तो भ्रष्टाचार रूपी रावण का दहन आवश्यक है। समाज सेवकों की मेहनत रंग लाएगी। सत्तासीनों की पोल खुलेगी, जनता जगेगी, निश्चित रूप से काला धन वापस आएगा।

देश का युवावर्ग जिस दिन जगेगा भ्रष्टाचार के रावण का अंत होगा और ध्वंस होगा भ्रष्टाचार का साम्राज्य। नए राष्ट्र का उदय होगा और तब साकार होगा। ‘मेरा भारत महान’ का स्वप्न।

4. मैं मोवाईल वोल रहा हूँ

आज विज्ञान प्रदत्त सुविधाओं को हम नकार नहीं सकते। दूरदर्शन, दूरध्वनि, ट्रांजिस्टर ,संगणक, विमान, राकेट, आदि की खोज ने मानव जीवन को एक नई दिशा दी है। कुछ दिन पहले ही पेजर आया बाद में लोगों को पता चला कि फोन भी आ रहा है। अब जब से मेरा आगमन हुआ है मैनें लोगों की दुनिया में क्रांति ला दी है।

जब मेरा बड़ा भाई टेलिफोन इस दुनिया में आया तो उसने पत्रलेखन की कमी को दूर कर लोगों के आपसी संबंध को जोड़ने का प्रयास किया। लेकिन जैसे ही मैंने इस दुनिया में कदम रखा बड़े भाई की परेशानी दूर कर दी। लोगों ने मुझे अपनी जेब में रखना शुरू किया।

मैंने भी लोगों की हर सुविधा का ध्यान रखा। फोटोग्राफी, खेल, सिनेमा, धारावाहिक, एफ एम रेडियो से लेकर हर सुविधा जो दृश्य – श्रव्य साधनों द्वारा प्राप्त होती है, मैंने दी। हाँ! आया, ठीक सुना आपने मैं मोबाइल बोल रहा हूँ। जब से मैंने इस दुनिया में कदम रखा है, तब से सारे संसार में एक क्रांति आ गई है।

विज्ञान ने जो कुछ भी दिया मैं भी उसी की एक कड़ी हूँ। मैं आप लोगों की दिन – रात सेवा कर रहा हूँ। मैंने ऐसी मुहब्बत दी है कि मुझे एक पल के लिए भी आप अपने से अलग नहीं कर पाते।

आपको मैंने सुविधा दी और आप ने भी अपनी जेब से मुझे निकाल कर हाथ की बजाय एक तार से जोड़कर अपने कान में लगा लिया और घंटों बातें करते रहते हैं।

मेरे दोस्तों मुझे दुःख है कि लोगों ने मेरा दुरुपयोग करना शुरू कर दिया है। पता नहीं लोग इतना झूठ क्यों बोलते हैं। मेरी मोहब्बत में अंधे होकर अपनी जान क्यों दे रहे हैं? लोगों का मुझ पर आरोप है कि मैं लोगों का समय बरबाद कर रहा हूँ।

मैंने लोगों को झूठ बोलना सिखाया है। मैंने माहौल को गंदा किया है। आतंकवाद और भ्रष्टाचार को बढ़ाने में भी मेरा उपयोग हो रहा है। परीक्षा के समय भी छात्र मेरा उपयोग नकल करने में करते हैं। लेकिन इसमें मेरी गलती नहीं है।

मैं सबकी मदद करता हूँ। लोगों के दुःख, दर्द को दूर करता हूँ। लोगों के आपसी संबंधों में मधुरता लाता हूँ। इंटरनेट पर होनेवाली, घटनाओं की जानकारी देता हूँ। लोग मेरा सदुपयोग करने की बजाए दुरुपयोग करें, तो इसमें मेरी क्या गलती? मेरी दीवानगी में यदि आप अपना काम छोड़कर निष्क्रिय बन रहे हैं तो मैं क्या करूँ? मेरे दोस्तों मेरा सही प्रयोग करके मुझे बदनामी से आप ही बचा सकते हैं।

यदि मेरा सदुपयोग करेंगे तो मैं कभी किसी को कोई नुकसान नहीं पहुंचा सकता। मैं सूचना पहुँचाने का माध्यम हूँ। मनोरंजन का साधन हूँ। ज्ञान का भंडार हूँ। आपकी हर समस्या का समाधान हूँ। मुझे वही बने रहने दीजिए। मैं तो हमेशा आपकी सेवा में संलग्न रहना चाहता हूँ।

5. दीपावली के पटाखे

पिछले पंद्रह दिनों से लगातार पटाखों के शोर ने मेरी नींद उड़ा दी है। मैं तंग आ गया हूँ घर में बीमार पत्नी कराह रही थी। मैंने नीचे जाकर लोगों से मिन्नतें की लेकिन त्योहार के नाम पर शोर मचानेवालों ने परंपरा की बात कहकर मेरा मजाक उड़ाया। नियम से दस बजे तक ही पटाखे फोड़ने चाहिए लेकिन पूरी रात तक इसका क्रम चलता रहा। दिवाली के दिन तो हद हो गई।

जिसने मुझे चिढ़ाया था, परंपरा की दुहाई दी थी, संस्कृति और पर्व के नाम पर भाषण सुनाया था, पटाखे के धमाके से उसके पिता को दिल का दौरा पड़ा। आधी रात को हम लोग उन्हें अस्पताल ले गए पर दुर्भाग्य कि अब वे एक जिंदा लाश बनकर रह गए हैं।

ध्वनि प्रदूषण का कुप्रभाव सारी खुशियों पर पानी फेर गया। मैंने सुबह सारे कचरे को इकट्ठा करवाकर जलाया, सफाई करवाई, युवकों, बड़ों व बच्चों को बुलाकर समझाया कि जितना पैसा पटाखों में खर्च किया जाता है, उतने पैसों से हम बगीचा बनवा सकते हैं, जो हमें प्रदूषण से राहत देगा।

फिर किसी को जिंदा लाश नहीं बनना पड़ेगा। त्योहार खुशियाँ बाँटने के लिए होते हैं, दर्द देने के लिए नहीं। थोड़े लोगों में सहमति बनी। आज हमारी सोसायटी का बगीचा अन्य लोगों के लिए आदर्श बन चुका है। सबने पटाखे न फोड़ने का संकल्प तो नहीं किया किंतु नियमानुसार फोड़कर पर्व को मनाने का निर्णय अवश्य लिया।

व्यक्ति संस्कारों से सँवरता है, निखरता है। उसके व्यक्तित्व को गढ़ने का कार्य भी संस्कार ही करते हैं। किशोरावस्था और कुमारावस्था में छात्रों के लिए संस्कारगत मूल्यों की शिक्षा अनिवार्य है। इसका मानव जीवन के आचरण पर अत्यधिक प्रभाव पड़ता है।

कुछ नीतिपरक मूल्य मनुष्य को आदर्श नागरिक बनाने में सहायक होते हैं। इस संदर्भ में किसी महान मानव के चरित्र के ऊपर भी कुछ लिखा जा सकता है।

उदाहरणार्थ कुछ संकेत निम्नलिखित हैं।

• जनमत का आदर करनेवाला मानव वास्तविक नायक बन जाता है। संसार के महान पुरुषों के चरित्र को आधार बनाकर इस कथन को अभिव्यक्ति दी जा सकती है।
• आज शहरी जीवन में स्वार्थांधता इतनी बढ़ गई है कि अपनत्व का भाव लुप्त होता जा रहा है। संवेदना धुंधली होती जा रही है, मानवता कहीं न कहीं लुप्त होती जा रही हैं।

6. अब्राहम लिंकन

अमेरिका के एक गरीब परिवार में जन्म लेनेवाला बालक अब्राहम लिंकन जिसने बचपन में अत्यंत अभावपूर्ण परिस्थिति में परवरिश पायी। घर की टूटी खिड़कियाँ और टूटी हुई छत, ऊपर से बिजली का अभाव, बचपन में पिता के साथ मजदूरी करने को मजबूर भरपेट भोजन का अभाव उसे घेरे रहता था।

कहते हैं “जहाँ चाह वहाँ राह” कुशाग्र बुद्धि, बहादुर, हँसी मजाक करने वाला बालक मित्रों से पुस्तकें माँगकर पढ़ उसे लौटा देता। बुद्धि इतनी तीव्र कि पुस्तक का एक-एक शब्द उसकी याददाश्त का हिस्सा बन जाते।

बिजली के अभाव में सड़क के खंभे से आते प्रकाश को पढ़ने के लिए प्रयोग करते देख एक अमीर ने उसको पढ़ने के लिए पुस्तकें उपलब्ध कराई। उसकी लगन, मेहनत और प्रतिभा ने उसे महान वकील बना दिया।

अमेरिका का कलंक वहाँ की दास प्रथा थी। उससे मुक्ति दिलाने का काम अब्राहम लिंकन ने किया। इसी दृढ संकल्प शक्ति से वे एक दिन अमेरिका के राष्ट्रपति बने। यदि हमारे अंदर दृढ़ इच्छा शक्ति है तो सृजनात्मक मूल्य अपने आप विकसित होते हैं और हमें ऊँचाई प्रदान करते है।

हमारे बीच ऐसी प्रतिभाओं की कमी नहीं है। हमें नहीं भूलना चाहिए कि गरीबी की कोख से पले- बढ़े, संघर्षरत, दृढ़ इच्छा शक्ति वाले गाँव के एक किसान बालक लालबहादुर शास्त्री ने भारत का प्रधान मंत्री बनकर देश को “जय जवान जय किसान” का नारा दिया।

संत महात्माओं, साहित्यकारों, मनीषियों ने अपने विचारों को अभिव्यक्त कर जो अमृत संदेश दिया, उसे भुलाया नहीं जा सकता। उनकी प्रसिद्ध उक्तियाँ ही सूक्तियाँ कहलाती हैं। उन उक्तियों या सूक्तियों को आधार मान कर आप अपने विचार अभिव्यक्त कर सकते हैं। कुछ उदाहरण निम्न हैं।

1. “ढाई आखर प्रेम का, पढ़े सो पंडित होय।”
2. है अंधेरी रात पर दीया जलाना कब मना है?
3. “तभी समर्थ भाव है कि तारता हुए तरे, वही मनुष्य है कि जो मनुष्य के लिए मरे।’
4. “नाश के दुःख से कभी, दबता नहीं निर्माण का सुख”
5. “मन के हारे हार है, मन के जीते जीत।”

इन कहावतों में मानव जीवन का महान सत्य प्रस्तुत किया गया है। मानव जीवन में उसका मन ही उसकी सारी गतिविधियों का संचालन करता है। जीवन में अनुकूल -प्रतिकूल परिस्थितियों का आना – जाना लगा रहता है। यदि प्रतिकूल परिस्थितियों में हम अपना धैर्य बनाए रखें, तो हम उस पर विजय पाने में सफल रहते हैं। इसके विपरीत यदि हम में निराशा और अधीरता घर कर जाए तो साधन संपन्न रहने पर भी पराजय ही हमारे हाथ लगती है।

सच्ची तंदुरुस्ती और आत्मनिर्भरता हमारे विजय का मार्ग प्रशस्त करती है। खेल में कभी हार तो कभी जीत मिलती है लेकिन हार में यदि हम निराश हो जाएँ तो सब कुछ बिखर जाएगा। हमें हर परिस्थिति में यह मानकर चलना है।

“क्या हार में क्या जीत में किंचित नहीं भयभीत मैं संघर्ष-पथ पर जो मिले, यह भी सही वह भी सही “हार मानूँगा नहीं, वरदान माँगूगा नहीं” इस सूत्र को जीवन का आधार बनाकर एक साधारण परिवार में जन्म लेने वाले छत्रपती शिवाजी महाराज ने अपनी दृढ़ इच्छा शक्ति से आदिलशाही सुलतानों, पुर्तगालियों, मुगलों से लोहा लिया और विजय पाई। समाज के तमाम विरोध के बावजूद महात्मा ज्योतिबा फुले ने महाराष्ट्र में स्त्री शिक्षा के प्रचार-प्रसार का महान कार्य किया।

7. 26 जुलाई

वाह रे! मुंबई और वाह रे मुंबईकर! ऐसी ताकत हिम्मत और हौसले को प्रणाम करता हूँ वरना हिम्मत, हौसला और दृढ इच्छाशक्ति के बिना उस परिस्थिति से उबर पाना आसान न था। क्या छोटा क्या बड़ा? क्या अमीर क्या गरीब। एकता की एक श्रृखंला बन गई। दुनिया के सामने एक मिसाल – लोग कह उठे वाह रे! मुंबई और वाह रे मुंबईकर!

जब से मनुष्य ने विज्ञान की शक्ति पाकर प्रकृति से छेड़छाड़ प्रारंभ की तथा उसका दोहन प्रारंभ किया, तभी से वह प्राकृतिक सुखों से वंचित होता गया। वह भूल गया कि मूक दिखाई देने वाली प्रकृति की वक्रदृष्टि सर्वनाश का कारण बन सकती है। 26 जुलाई की विभिषिणा ने हम मुंबई वासियों को आगाह किया है।

हमें इस बात का ध्यान रखना होगा कि आज हमारे परिवेश में पर्यावरण का संरक्षण निहायत जरूरी है। प्लास्टीक की। थैलिया हमारे स्वास्थ्य एवं पर्यावरण के लिए बेहद हानिकारक हैं क्योंकि 60 फीसदी प्लास्टीक ही रिसाइकिल हो पाती है।

प्लास्टीक का यह कचरा ज्यादातर नालियों और सीवेज को ठप्प कर देता है, शेष समुद्र पर होने वाले अतिक्रमण और वृक्षों की कटाई ने भी अपनी भूमिका अदा की है। जिसके कारण ही वर्षा का जल समुद्र की खाड़ी में नहीं जा पाता और जल जमाव से लोग त्रस्त होते हैं।

पर्यावरण की सुरक्षा से ही इस समस्या को सुलझाया जा सकता है। वन रोपण तथा वृक्ष लगाने से यह समस्या कम हो सकती है। जनसंख्या वृद्धि पर भी हमें अंकुश लगाना होगा। कंक्रीट के जंगल की सीमा बांधनी होगी। समुद्र के अतिक्रमण को रोकना होगा। वरना सुख देने वाली यह प्रकृति हमें गटक जाएगी।

26 जुलाई 2005 की वह कहर भरी शाम। समुद्री तूफान और बरसात का सिलसिला जो आरंभ हुआ, पूरी रात चलता रहा। हर गली पानी से भर गई। पहली मंजिल तक पानी पहुंचा, रेलवे प्लेट फार्म डूब गए, सड़कों पर पानी, गाड़ियों के ऊपर से पानी बह रहा था। सब तरफ अफरा-तफरी का माहौल।

सबकी सोच, कि अब क्या होगा? कैसे निपटा जाय। इस मुसीबत से लोगों ने हिम्मत नहीं हारी, पूरी रात कौन कहाँ रहा पता नहीं? मंदिरों, मस्जिदों, चर्चों के दरवाजे खुल गए। लोगों ने शरण ली। सबने जिसकी जितनी ताकत थी एक – दूसरे को सँभाला, हिम्मत बँधाए रखा। करोड़ों का नुकसान हुआ।

रेलवे, बस सबकी सेवाएं ठप्प हो गईं। वाह रे! हिम्मत चौबीस घंटे बाद धीरे-धीरे सब कुछ सामान्य होने लगा। हालात को सामान्य बनाने में सबका योगदान रहा। यह थी हमारी एकता वर्गगत, जातिगत, धर्मगत, दलगत, विचारों से ऊपर। सर्वधर्म समभाव का ऐसा उदाहरण जिसे हम आज भी नमन करते हैं।

Balbharti 12th Maharashtra State Board Maths Solutions Book Pdf Chapter 1 Differentiation Ex 1.5 Questions and Answers.

Maharashtra State Board 12th Maths Solutions Chapter 1 Differentiation Ex 1.5

Question 1.
Find the second order derivatives of the following:
(i) 2x⁵ – 4x³ – \(\frac{2}{x^{2}}\) – 9
Solution:
Let y = 2x⁵ – 4x³ – \(\frac{2}{x^{2}}\) – 9

(ii) e^2x . tan x
Solution:
Let y = e^2x . tan x

(iii) e^4x . cos 5x
Solution:
Let y = e^4x . cos 5x

(iv) x³ . log x
Solution:
Let y = x³ . log x

(v) log(log x)
Solution:
Let y = log(log x)

(vi) x^x
Solution:
y = x^x
log y = log x^x = x log x
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

Question 2.
Find \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) of the following:
(i) x = a(θ – sin θ), y = a (1 – cos θ)
Solution:
x = a(θ – sin θ), y = a (1 – cos θ)
Differentiating x and y w.r.t. θ, we get
\(\frac{d x}{d \theta}=a \frac{d}{d \theta}(\theta-\sin \theta)\) = a(1 – cos θ) …….(1)

(ii) x = 2at², y = 4at
Solution:
x = 2at², y = 4at
Differentiating x and y w.r.t. t, we get

(iii) x = sin θ, y = sin³θ at θ = \(\frac{\pi}{2}\)
Solution:
x = sin θ, y = sin³θ
Differentiating x and y w.r.t. θ, we get,

(iv) x = a cos θ, y = b sin θ at θ = \(\frac{\pi}{4}\)
Solution:
x = a cos θ, y = b sin θ
Differentiating x and y w.r.t. θ, we get

Question 3.
(i) If x = at² and y = 2at, then show that \(x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+a=0\)
Solution:
x = at², y = 2at ………(1)
Differentiating x and y w.r.t. t, we get

(ii) If y = \(e^{m \tan ^{-1} x}\), show that \(\left(1+x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(2 x-m) \frac{d y}{d x}=0\)
Solution:
y = \(e^{m \tan ^{-1} x}\) ……..(1)

(iii) If x = cos t, y = e^mt, show that \(\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-m^{2} y=0\)
Solution:
x = cos t, y = e^mt

(iv) If y = x + tan x, show that \(\cos ^{2} x \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 y+2 x=0\)
Solution:
y = x + tan x

(v) If y = e^ax . sin (bx), show that y₂ – 2ay₁ + (a² + b²)y = 0.
Solution:
y = e^ax . sin (bx) ………(1)

(vi) If \(\sec ^{-1}\left(\frac{7 x^{3}-5 y^{3}}{7 x^{3}+5 y^{3}}\right)=m\), show that \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0\)
Solution:

(vii) If 2y = \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\), show that 4(x² – 1)y₂ + 4xy₁ – y = 0.
Solution:
2y = \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\) …… (1)
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

(viii) If y = \(\log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{m}\), show that \(\left(x^{2}+a^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}=0\)
Solution:
y = \(\log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{m}\) = \(m \log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)\)

(ix) If y = sin(m cos^-1x), then show that \(\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}+m^{2} y=0\)
Solution:
y = sin(m cos^-1x)
sin^-1y = m cos^-1x
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

(x) If y = log(log 2x), show that xy₂ + y₁(1 + xy₁) = 0.
Solution:
y = log(log 2x)

(xi) If x² + 6xy + y² = 10, show that \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{80}{(3 x+y)^{3}}\)
Solution:
x² + 6xy + y² = 10 …… (1)
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

(xii) If x = a sin t – b cos t, y = a cos t + b sin t, Show that \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{3}}\)
Solution:
x = a sin t – b cos t, y = a cos t + b sin t
Differentiating x and y w.r.t. t, we get

Question 4.
Find the nth derivative of the following:
(i) (ax + b)^m
Solution:
Let y = (ax + b)^m

(ii) \(\frac{1}{x}\)
Solution:
Let y = \(\frac{1}{x}\)

(iii) e^ax+b
Solution:
Let y = e^ax+b

(iv) a^px+q
Solution:
Let y = a^px+q

(v) log(ax + b)
Solution:
Let y = log(ax + b)
Then \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}[\log (a x+b)]\)

(vi) cos x
Solution:
Let y = cos x

(vii) sin(ax + b)
Solution:
Let y = sin(ax + b)

(viii) cos(3 – 2x)
Solution:

(ix) log(2x + 3)
Solution:

(x) \(\frac{1}{3 x-5}\)
Solution:
Let y = \(\frac{1}{3 x-5}\)

(xi) y = e^ax . cos (bx + c)
Solution:
y = e^ax . cos (bx + c)

(xii) y = e^8x . cos (6x + 7)
Solution:

Balbharti 12th Maharashtra State Board Maths Solutions Book Pdf Chapter 2 Applications of Derivatives Ex 2.2 Questions and Answers.

Maharashtra State Board 12th Maths Solutions Chapter 2 Applications of Derivatives Ex 2.2

Question 1.
Find the approximate value of given functions, at required points.
(i) √8.95
Solution:

√8.95 = 2.9917

(ii) \(\sqrt[3]{28}\)
Solution:

(iii) \(\sqrt[5]{31.98}\)
Solution:

(iv) (3.97)⁴
Solution:

(v) (4.01)³
Solution:

Question 2.
Find the approximate values of:
(i) sin 61°, given that 1° = 0.0174^c, √3 = 1.732.
Solution:

(ii) sin(29° 30′), given that 1° = 0.0175^c, √3 = 1.732.
Solution:

(iii) cos(60° 30′), given that 1° = 0.0175^c, √3 = 1.732.
Solution:

(iv) tan (45° 40′), given that 1° = 0.0175^c.
Solution:

Question 3.
Find the approximate values of
(i) tan^-1(0.999).
Solution:

(ii) cot^-1(0.999).
Solution:

(iii) tan^-1(1.001).
Solution:

Question 4.
Find the approximate values of:
(i) e^0.995, given that e = 2.7183.
Solution:

(ii) e^2.1, given that e² = 7.389.
Solution:

(iii) 3^2.01, given that log 3 = 1.0986.
Solution:

Question 5.
Find the approximate values of:
(i) log_e(101), given that log_e10 = 2.3026.
Solution:

(ii) log_e(9.01), given that log 3 = 1.0986.
Solution:

(iii) log₁₀(1016), given that log₁₀e = 0.4343.
Solution:

Question 6.
Find the approximate values of:
(i) f(x) = x³ – 3x + 5 at x = 1.99
Solution:

(ii) f(x) = x³ + 5x² – 7x +10 at x = 1.12
Solution:

Balbharti 12th Maharashtra State Board Maths Solutions Book Pdf Chapter 2 Applications of Derivatives Ex 2.1 Questions and Answers.

Maharashtra State Board 12th Maths Solutions Chapter 2 Applications of Derivatives Ex 2.1

Question 1.
Find the equations of tangents and normals to the curve at the point on it.
(i) y = x² + 2e^x + 2 at (0, 4)
Solution:

(ii) x³ + y³ – 9xy = 0 at (2, 4)
Solution:
x³ + y³ – 9xy = 0
Differentiating both sides w.r.t. x, we get


Hence, the equations of tangent and normal are 4x – 5y + 12 = 0 and 5x + 4y – 26 = 0 respectively.

(iii) x² – √3xy + 2y² = 5 at (√3, 2)
Solution:
x² – √3xy + 2y² = 5
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

the slope of normal at (√3, 2) does not exist.
normal is parallel to Y-axis.
equation of the normal is of the form x = k
Since, it passes through the point (√3, 2), k = √3
equation of the normal is x = √3.
Hence, the equations of tangent and normal are y = 2 and x = √3 respectively.

(iv) 2xy + π sin y = 2π at (1, \(\frac{\pi}{2}\))
Solution:
2xy + π sin y = 2π
Differentiating both sides w.r.t. x, we get


Hence, the equations of tangent and normal are πx + 2y – 2π = 0 and 4x – 2πy + π² – 4 = 0 respectively.

(v) x sin 2y = y cos 2x at (\(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{2}\))
Solution:
x sin 2y = y cos 2x
Differentiating both sides w.r.t. x, we get



Hence, the equations of the tangent and normal are 2x – y = 0 and 4x + 8y – 5π = 0 respectively.

(vi) x = sin θ and y = cos 2θ at θ = \(\frac{\pi}{6}\)
Solution:
When θ = \(\frac{\pi}{6}\), x = sin\(\frac{\pi}{6}\) and y = cos\(\frac{\pi}{3}\)
∴ x = \(\frac{1}{2}\) and y = \(\frac{1}{2}\)
Hence, the point at which we want to find the equations of tangent and normal is (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\))
Now, x = sin θ, y = cos 2θ
Differentiating x and y w.r.t. θ, we get


2y – 1 = x – \(\frac{1}{2}\)
4y – 2 = 2x – 1
2x – 4y + 1 = 0
Hence, equations of the tangent and normal are 4x + 2y – 3 = 0 and 2x – 4y + 1 = 0 respectively.

(vii) x = √t, y = t – \(\frac{1}{\sqrt{t}}\), at t = 4.
Solution:
When t = 4, x = √4 and y = 4 – \(\frac{1}{\sqrt{4}}\)
∴ x = 2 and y = 4 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{7}{2}\)
Hence, the point at which we want to find the equations of tangent and normal is (2, \(\frac{7}{2}\)).
Now, x = √t, y = t – \(\frac{1}{\sqrt{t}}\)
Differentiating x and y w.r.t. t, we get



Hence, the equations of tangent and normal are 17x – 4y – 20 = 0 and 8x + 34y – 135 = 0 respectively.

Question 2.
Find the point of the curve y = \(\sqrt{x-3}\) where the tangent is perpendicular to the line 6x + 3y – 5 = 0.
Solution:
Let the required point on the curve y = \(\sqrt{x-3}\) be P(x₁, y₁).
Differentiating y = \(\sqrt{x-3}\) w.r.t. x, we get

Hence, the required points are (4, 1) and (4, -1).

Question 3.
Find the points on the curve y = x³ – 2x² – x where the tangents are parallel to 3x – y + 1 = 0.
Solution:
Let the required point on the curve y = x³ – 2x² – x be P(x₁, y₁).

Question 4.
Find the equations of the tangents to the curve x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 which are parallel to the X-axis.
Solution:
Let P (x₁, y₁) be the point on the curve x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 where the tangent is parallel to X-axis.
Differentiating x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 w.r.t. x, we get


the coordinates of the points are (1, 0) or (1, 4)
Since the tangents are parallel to X-axis, their equations are of the form y = k
If it passes through the point (1, 0), k = 0, and if it passes through the point (1, 4), k = 4
Hence, the equations of the tangents are y = 0 and y = 4.

Question 5.
Find the equations of the normals to the curve 3x² – y² = 8, which are parallel to the line x + 3y = 4.
Solution:
Let P(x₁, y₁) be the foot of the required normal to the curve 3x² – y² = 8.
Differentiating 3x² – y² = 8 w.r.t. x, we get


Hence, the equations of the normals are x + 3y – 8 = 0 and x + 3y + 8 = 0.

Question 6.
If the line y = 4x – 5 touches the curve y² = ax³ + b at the point (2, 3), find a and b.
Solution:
y² = ax³ + b
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

= slope of the tangent at (2, 3)
Since, the line y = 4x – 5 touches the curve at the point (2, 3), slope of the tangent at (2, 3) is 4.
2a = 4 ⇒ a = 2
Since (2, 3) lies on the curve y² = ax³ + b
(3)² = a(2)³ + b
9 = 8a + b
9 = 8(2) + b …… [∵ a = 2]
b = -7
Hence, a = 2 and b = -7.

Question 7.
A particle moves along the curve 6y = x³ + 2. Find the points on the curve at which y-coordinate is changing 8 times as fast as the x-coordinate.
Solution:
Let P(x₁, y₁) be the point on the curve 6y = x³ + 2 whose y-coordinate is changing 8 times as fast as the x-coordinate.

Question 8.
A spherical soap bubble is expanding so that its radius is increasing at the rate of 0.02 cm/sec. At what rate is the surface area increasing, when its radius is 5 cm?
Solution:
Let r be the radius and S be the surface area of the soap bubble at any time t.
Then S = 4πr²
Differentiating w.r.t. t, we get

Hence, the surface area of the soap bubble is increasing at the rate of 0.87c cm² / sec.

Question 9.
The surface area of a spherical balloon is increasing at the rate of 2 cm²/sec. At what rate is the volume of the balloon is increasing, when the radius of the balloon is 6 cm?
Solution:
Let r be the radius, S be the surface area and V be the volume of the spherical balloon at any time t.
Then S = 4πr² and V = \(\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
Differentiating w.r.t. t, we get

Hence, the volume of the spherical balloon is increasing at the rate of 6 cm³ / sec.

Question 10.
If each side of an equilateral triangle increases at the rate of √2 cm/sec, find the rate of increase of its area when its side of length is 3 cm.
Solution:
If x cm is the side of the equilateral triangle and A is its area, then \(A=\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}\)
Differentiating w.r.t. f, we get

Hence, rate of increase of the area of equilateral triangle = \(\frac{3 \sqrt{6}}{2}\) cm² / sec.

Question 11.
The volume of a sphere increases at the rate of 20 cm³/sec. Find the rate of change of its surface area, when its radius is 5 cm.
Solution:
Let r be the radius, S be the surface area and V be the volume of the sphere at any time t.
Then S = 4πr² and V = \(\frac{4}{3} \pi r^{3}\)
Differentiating w.r.t. t, we get

Hence, the surface area of the sphere is changing at the rate of 8 cm²/sec.

Question 12.
The edge of a cube is decreasing at the rate of 0.6 cm/sec. Find the rate at which its volume is decreasing, when the edge of the cube is 2 cm.
Solution:
Let x be the edge of the cube and V be its volume at any time t.
Then V = x³
Differentiating both sides w.r.t. t, we get

Hence, the volume of the cube is decreasing at the rate of 7.2 cm³/sec.

Question 13.
A man of height 2 meters walks at a uniform speed of 6 km/hr away from a lamp post of 6 meters high. Find the rate at which the length of the shadow is increasing.
Solution:
Let OA be the lamp post, MN the man, MB = x, his shadow, and OM = y, the distance of the man from the lamp post at time t.

Then \(\frac{d y}{d t}\) = 6 km/hr is the rate at which the man is moving at away from the lamp post.
\(\frac{d x}{d t}\) is the rate at which his shadow is increasing.
From the figure,
\(\frac{x}{2}=\frac{x+y}{6}\)
6x = 2x + 2y
4x = 2y
x = \(\frac{1}{2}\) y
\(\frac{d x}{d t}=\frac{1}{2} \frac{d y}{d t}=\frac{1}{2} \times 6=3 \mathrm{~km} / \mathrm{hr}\)
Hence, the length of the shadow is increasing at the rate of 3 km/hr.

Question 14.
A man of height 1.5 meters walks towards a lamp post of height 4.5 meters, at the rate of (\(\frac{3}{4}\)) meter/sec.
Find the rate at which
(i) his shadow is shortening
(ii) the tip of the shadow is moving.
Solution:

Let OA be the lamp post, MN the man, MB = x his shadow and OM = y the distance of the man from lamp post at time t.
Then \(\frac{d y}{d t}=\frac{3}{4}\) is the rate at which the man is moving towards the lamp post.
\(\frac{d x}{d t}\) is the rate at which his shadow is shortening.
B is the tip of the shadow and it is at a distance of x + y from the post.
\(\frac{d}{d t}(x+y)=\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\) is the rate at which the tip of the shadow is moving.
From the figure,
\(\frac{x}{1.5}=\frac{x+y}{4.5}\)
45x = 15x + 15y
30x = 15y
x = \(\frac{1}{2}\)y
\(\frac{d x}{d t}=\frac{1}{2} \cdot \frac{d y}{d t}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{3}{8}\right) \text { metre/sec }\)
and \(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}=\frac{3}{8}+\frac{3}{4}=\left(\frac{9}{8}\right) \text { metres } / \mathrm{sec}\)
Hence (i) the shadow is shortening at the rate of (\(\frac{3}{8}\)) metre/sec, and
(ii) the tip of shadow is moving at the rate of (\(\frac{9}{8}\)) metres/sec.

Question 15.
A ladder 10 metres long is leaning against a vertical wall. If the bottom of the ladder is pulled horizontally away from the wall at the rate of 1.2 metres per second, find how fast the top of the ladder is sliding down the wall, when the bottom is 6 metres away from the wall.
Solution:

Let AB be the ladder, where AB = 10 metres.
Let at time t seconds, the end A of the ladder be x metres from the wall and the end B be y metres from the ground.
Since, OAB is a right angled triangle, by Pythagoras’ theorem
x² + y² = 10² i.e. y² = 100 – x²
Differentiating w.r.t. t, we get
2y \(\frac{d y}{d t}\) = 0 – 2x \(\frac{d x}{d t}\)
∴ \(\frac{d y}{d t}=-\frac{x}{y} \cdot \frac{d x}{d t}\) ……..(1)
Now, \(\frac{d x}{d t}\) = 1.2 metres/sec is the rate at which the bottom at of the ladder is pulled horizontally and \(\frac{d y}{d t}\) is the rate at which the top of ladder B is sliding.
When x = 6, y² = 100 – 36 = 64
y = 8
(1) gives \(\frac{d y}{d t}=-\frac{6}{8}(1.2)=-\frac{6}{8} \times \frac{12}{10}\)
\(=-\frac{9}{10}=-0.9\)
Hence, the top of the ladder is sliding down the wall, at the rate of 0.9 metre/sec.

Question 16.
If water is poured into an inverted hollow cone whose semi-vertical angle is 30° so that its depth (measured along the axis) increases at the rate of 1 cm/sec. Find the rate at which the volume of water increases when the depth is 2 cm.
Solution:

Let r be the radius, h be the height, θ be the semi-vertical angle and V be the volume of the water at any time t.

Hence, the volume of water is increasing at the rate of \(\left(\frac{4 \pi}{3}\right)\) cm3/sec.

Balbharti 12th Maharashtra State Board Maths Solutions Book Pdf Chapter 3 Indefinite Integration Ex 3.1 Questions and Answers.

Maharashtra State Board 12th Maths Solutions Chapter 3 Indefinite Integration Ex 3.1

I. Integrate the following functions w.r.t. x:

(i) x³ + x² – x + 1
Solution:

(ii) \(x^{2}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{2}\)
Solution:

(iii) \(3 \sec ^{2} x-\frac{4}{x}+\frac{1}{x \sqrt{x}}-7\)
Solution:

(iv) \(2 x^{3}-5 x+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{5}}\)
Solution:

(v) \(\frac{3 x^{3}-2 x+5}{x \sqrt{x}}\)
Solution:

II. Evaluate:

(i) ∫tan² x . dx
Solution:

(ii) \(\int \frac{\sin 2 x}{\cos x} \cdot d x\)
Solution:

(iii) \(\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} \cdot d x\)
Solution:

(iv) \(\int \frac{\cos 2 x}{\sin ^{2} x} \cdot d x\)
Solution:

(v) \(\int \frac{\cos 2 x}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x} \cdot d x\)
Solution:

= -cot x – tan x + c

(vi) \(\int \frac{\sin x}{1+\sin x} \cdot d x\)
Solution:

(vii) \(\int \frac{\tan x}{\sec x+\tan x} \cdot d x\)
Solution:

(viii) \(\int \sqrt{1+\sin 2 x} \cdot d x\)
Solution:

(ix) \(\int \sqrt{1-\cos 2 x} \cdot d x\)
Solution:

(x) ∫sin 4x cos 3x dx
Solution:

III. Evaluate:

(i) \(\int \frac{x}{x+2} \cdot d x\)
Solution:

(ii) \(\int \frac{4 x+3}{2 x+1} \cdot d x\)
Solution:

(iii) \(\int \frac{5 x+2}{3 x-4} \cdot d x\)
Solution:

(iv) \(\int \frac{x-2}{\sqrt{x+5}} \cdot d x\)
Solution:

(v) \(\int \frac{2 x-7}{\sqrt{4 x-1}} \cdot d x\)
Solution:

(vi) \(\int \frac{\sin 4 x}{\cos 2 x} \cdot d x\)
Solution:

(vii) \(\int \sqrt{1+\sin 5 x} \cdot d x\)
Solution:

(viii) ∫cos² x . dx
Solution:

(ix) \(\int \frac{2}{\sqrt{x}-\sqrt{x+3}} \cdot d x\)
Solution:

(x) \(\int \frac{3}{\sqrt{7 x-2}-\sqrt{7 x-5}} \cdot d x\)
Solution:

IV.

Question 1.
If f'(x) = x – \(\frac{3}{x^{3}}\), f(1) = \(\frac{11}{2}\), find f(x).
Solution:
By the definition of integral,

Balbharti 12th Maharashtra State Board Maths Solutions Book Pdf Chapter 2 Applications of Derivatives Miscellaneous Exercise 2 Questions and Answers.

Maharashtra State Board 12th Maths Solutions Chapter 2 Applications of Derivatives Miscellaneous Exercise 2

I. Choose the correct option from the given alternatives:

Question 1.
If the function f(x) = ax³ + bx² + 11x – 6 satisfies conditions of Rolle’s theorem in [1, 3] and f'(2 + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)) = 0, then values of a and b are respectively.
(a) 1, -6
(b) -2, 1
(c) -1, -6
(d) -1, 6
Answer:
(a) 1, -6

Hint: f(x) = ax³ + bx² + 11x – 6 satisfies the conditions of Rolle’s theorem in [1, 3]
∴ f(1) = f(3)
a(1)³ + b(1)² + 11(1) – 6 = a(3)³ + b(3)² + 11(3) – 6
a + b + 11 = 27a + 9b + 33
26a + 8b = -22
13a + 4b = -11
Only a = 1, b = -6 satisfy this equation.

Question 2.
If f(x) = \(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\), for every real x, then the minimum value of f is
(a) 1
(b) 0
(c) -1
(d) 2
Answer:
(c) -1

Question 3.
A ladder 5 m in length is resting against a vertical wall. The bottom of the ladder is pulled along the ground away from the wall at the rate of 1.5 m/sec. The length of the higher point of the ladder when the foot of the ladder is 4.0 m away from the wall decreases at the rate of
(a) 1
(b) 2
(c) 2.5
(d) 3
Answer:
(b) 2

Question 4.
Let f(x) and g(x) be differentiable for 0 < x < 1 such that f(0) = 0, g(0) = 0, f(1) = 6. Let there exist a real number c in (0, 1) such that f'(c) = 2g'(c), then the value of g(1) must be
(a) 1
(b) 3
(c) 2.5
(d) -1
Answer:
(b) 3

Hint: f(x) and g(x) both satisfies the conditions of LMVT in (0, 1).
∴ f'(c) = \(\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{6-0}{1}=6\)
and g'(c) = \(\frac{g(1)-g(0)}{1-0}=\frac{g(1)-0}{1}\) = g(1)
But f'(c) = 2g'(c)
6 = 2g(1)
∴ g(1) = 3

Question 5.
Let f(x) = x³ – 6x² + 9x + 18, then f(x) is strictly decreasing in
(a) (-∞, 1)
(b) [3, ∞)
(c) (-∞, 1] ∪ [3, ∞)
(d) (1, 3)
Answer:
(d) (1, 3)

Question 6.
If x = -1 and x = 2 are the extreme points of y = α log x + βx² + x, then
(a) α = -6, β = \(\frac{1}{2}\)
(b) α = -6, β = \(\frac{-1}{2}\)
(c) α = 2, β = \(\frac{-1}{2}\)
(d) α = 2, β = \(\frac{1}{2}\)
Answer:
(c) α = 2, β = \(\frac{-1}{2}\)

Hint: y = α log x + βx² + x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{\alpha}{x}+\beta \times 2 x+1=\frac{\alpha}{x}+2 \beta x+1\)
f(x) has extreme values at x = -1 and x = 2
∴ f'(-1) = 0 and f(2) = 0
α + 2β = 1
and \(\frac{\alpha}{2}\) + 4β = -1
By solving these two equations, we get
α = 2, β = \(\frac{-1}{2}\)

Question 7.
The normal to the curve x² + 2xy – 3y² = 0 at (1, 1)
(a) meets the curve again in the second quadrant
(b) does not meet the curve again
(c) meets the curve again in the third quadrant
(d) meets the curve again in the fourth quadrant
Answer:
(d) meets the curve again in fourth quadrant

Hint: x² + 2xy – 3y² = 0

= slope of the tangent at (1, 1)
∴ equation of the tangent at (1, 1) is -1
∴ equation of the normal is
y – 1= -1 (x – 1) = -x + 1
∴ x + y = 2
∴ y = 2 – x
Substituting y = 2 – x in x² + 2xy – 3y² = 0, we get
x² + 2x(2 – x) – 3 (2 – x)² = 0
⇒ x² + 4x – 2x² – 3(4 – 4x + x²) = 0
⇒ x² – 4x + 3 = 0
⇒ (x – 1)(x – 3) = 0
⇒ x = 1, x = 3
When x = 1, y = 2 – 1 = 1
When x = 3, y = 2 – 3 = -1
∴ the normal at (1, 1) meets the curve at (3, -1) which is in the fourth quadrant.

Question 8.
The equation of the tangent to the curve y = 1 – \(e^{\frac{x}{2}}\) at the point of intersection with Y-axis is
(a) x + 2y = 0
(b) 2x + y = 0
(c) x – y = 2
(d) x + y = 2
Answer:
(a) x + 2y = 0
Hint: The point of intersection of the curve with the Y-axis is the origin (0, 0).

Question 9.
If the tangent at (1, 1) on y² = x(2 – x)² meets the curve again at P, then P is
(a) (4, 4)
(b) (-1, 2)
(c) (3, 6)
(d) \(\left(\frac{9}{4}, \frac{3}{8}\right)\)
Answer:
(d) \(\left(\frac{9}{4}, \frac{3}{8}\right)\)
Hint: y² = x(2 – x)²
= x(4 – 4x + x²)
= x³ – 4x² + 4x

= slope of the tangent at (1, 1)
∴ equation of the tangent at (1, 1) is
y – 1 = –\(\frac{1}{2}\) (x – 1)
∴ 2y – 2 = -x + 1
∴ x + 2y = 3
Only the coordinates \(\left(\frac{9}{4}, \frac{3}{8}\right)\) satisfy both the equations y² = x(2 – x)² and x + 2y = 3
∴ P is \(\left(\frac{9}{4}, \frac{3}{8}\right)\)

Question 10.
The approximate value of tan (44° 30′), given that 1° = 0.0175, is
(a) 0.8952
(b) 0.9528
(c) 0.9285
(d) 0.9825
Answer:
(d) 0.9825

II. Solve the following:

Question 1.
If the curves ax² + by² = 1 and a’x² + b’y² = 1, intersect orthogonally, then prove that \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a^{\prime}}-\frac{1}{b^{\prime}}\)
Solution:
Let P(x₁, y₁) be the point of intersection of the curves.

Question 2.
Determine the area of the triangle formed by the tangent to the graph of the function y = 3 – x² drawn at the point (1, 2) and the coordinate axes.
Solution:
y = 3 – x²

= slope of the tangent at (1, 2)
∴ equation of the tangent at (1, 2) is
y – 2= -2(x – 1)
⇒ y – 2= -2x + 2
⇒ 2x + y = 4
Let this tangent cuts the coordinate axes at A(a, 0) and B(0, b).
∴ 2a + 0 = 4 and 2(0) + b = 4
∴ a = 2 and b = 4
∴ area of required triangle = \(\frac{1}{2}\) × l(OA) × l(OB)
= \(\frac{1}{2}\) ab
= \(\frac{1}{2}\) (2)(4)
= 4 sq units.

Question 3.
Find the equation of the tangent and normal drawn to the curve y⁴ – 4x⁴ – 6xy = 0 at the point M (1, 2).
Solution:
y⁴ – 4x⁴ – 6xy = 0
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

= slope of the tangent at (1, 2)
∴ the equation of normal at M (1, 2) is
y – 2 = \(\frac{14}{13}\) (x – 1)
∴ 13y – 26 = 14x – 14
∴ 14x – 13y + 12 = 0
The slope of normal at (1, 2)
\(=\frac{-1}{\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\mathrm{at}(1,2)}}=\frac{-1}{\left(\frac{14}{13}\right)}=-\frac{13}{14}\)
∴ the equation of normal at M (1, 2) is
y – 2 = \(\frac{-13}{14}\) (x – 1)
14y – 28 = -13x + 13
13x + 14y – 41 = 0
Hence, the equations of tangent and normal are 14x – 13y + 12 = 0 and 13x + 14y – 41 = 0 respectively.

Question 4.
A water tank in the form of an inverted cone is being emptied at the rate of 2 cubic feet per second. The height of the cone is 8 feet and the radius is 4 feet. Find the rate of change of the water level when the depth is 6 feet.
Solution:

Let r be the radius of the base, h be the height and V be the volume of the water level at any time t.
Since, the height of the cone is 8 feet and the radius is 4 feet,
\(\frac{r}{h}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
r = \(\frac{h}{2}\) ……..(1)

Hence, the rate of change of water level is \(\left(\frac{2}{9 \pi}\right)\) ft/sec.

Question 5.
Find all points on the ellipse 9x² + 16y² = 400, at which the y-coordinate is decreasing and the x-coordinate is increasing at the same rate.
Solution:
Let P(x₁, y₁) be the point on the ellipse 9x² + 16y² = 400 whose y-coordinate decreasing x-coordinate is increasing at the same rate.

Question 6.
Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = \(\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}\) on [-1, 1].
Solution:
The functions e^x, e^-x, and 2 are continuous and differentiable in their respective domains.
∴ f(x) = \(\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}\) is continuous on [-1, 1] and differentiable on (-1, 1), because e^x + e^-x ≠ 0 for all x ∈ [-1, 1].
Now, f(-1) = \(\frac{2}{e^{-1}+e}=\frac{2}{e+e^{-1}}\) and f(1) = \(\frac{2}{e+e^{-1}}\)
∴ f(-1) = f(1)
Thus, the function f satisfies all the conditions of the Rolle’s theorem.
∴ there exist c ∈ (-1, 1) such that f'(c) = 0
Now, f(x) = \(\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}\)

Hence, Rolle’s theorem is verified.

Question 7.
The position of a particle is given by the function s(t) = 2t² + 3t – 4. Find the time t = c in the interval 0 ≤ f ≤ 4 when the instantaneous velocity of the particle is equal to its average velocity in this interval.
Solution:
s(t) = 2t² + 3t – 4
∴ s(0) = 2(0)² + 3(0) – 4 = -4
and s(4) = 2(4)² + 3(4) – 4 = 32 + 12 – 4 = 40
∴ average velocity = \(\frac{s(4)-s(0)}{4-0}\)
= \(\frac{40-(-4)}{4}\)
= 11
Also, instantaneous velocity = \(\frac{d s}{d t}\)
= \(\frac{d}{d t}\) (2t² + 3t – 4)
= 2 × 2t + 3 × 1 – 0
= 4t + 3
∴ instantaneous velocity at t = c is \(\left(\frac{d s}{d t}\right)_{t=c}\) = 4c + 3
When instantaneous velocity at t = c equal to its average velocity, we get
4c + 3 = 11
4c = 8
∴ c = 2 ∈ [0, 4]
Hence, t = c = 2.

Question 8.
Find the approximate value of the function f(x) = \(\sqrt{x^{2}+3 x}\) at x = 1.02.
Solution:
f(x) = \(\sqrt{x^{2}+3 x}\)

Question 9.
Find the approximate value of cos^-1(0.51), given π = 3.1416, \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) = 1.1547.
Solution:
Let f(x) = cos^-1 x

The formula for approximation is f(a + h)= f(a) + h . f'(a)
∴ cos^-1 (0.51) = f(0.51)
= f(0.5 + 0.01)
= f(0.5) + (0.01) f'(0.5)
= \(\frac{\pi}{3}\) + 0.01 × (-1.1547)
= \(\frac{3.1416}{3}\) – 0.011547
= 1.0472 – 0.011547
= 1.035653
∴ cos^-1 (0.51) = 1.035653.

Question 10.
Find the intervals on which the function y = x^x, (x > 0) is increasing and decreasing.
Solution:
y = x^x
∴ log y = log x^x = x log x
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

y is increasing if \(\frac{d y}{d x}\) ≥ 0
i.e. if x^x (1 + log x) ≥ 0
i.e. if 1 + log x ≥ 0 ……[∵ x > 0]
i.e. if log x ≥ -1
i.e. if log x ≥ -log e …….[∵ log e = 1]
i.e. if logx ≥ log \(\frac{1}{e}\)
i.e. if x ≥ \(\frac{1}{e}\)
∴ y is increasing in \(\left[\frac{1}{e^{\prime}}, \infty\right)\)
y is decreasing if \(\frac{d y}{d x}\) ≤ 0
i.e. if x^x (1 + log x) ≤ 0
i.e. if 1 + log x ≤ 0 ……[∵ x > 0]
i.e. if log x ≤ -1
i.e. if log x ≤ -log e
i.e. if log x ≤ log \(\frac{1}{e}\)
i.e. if x ≤ \(\frac{1}{e}\) where x > 0
∴ y is decreasing is \(\left(0, \frac{1}{e}\right]\)
Hence, the given function is increasing in \(\left[\frac{1}{e^{\prime}}, \infty\right)\) and decreasing in \(\left(0, \frac{1}{e}\right]\)

Question 11.
Find the intervals on which the function f(x) = \(\frac{x}{\log x}\) is increasing and decreasing.
Solution:
f(x) = \(\frac{x}{\log x}\)

f is increasing if f'(x) ≥ 0
i.e. if \(\frac{\log x-1}{(\log x)^{2}}\) ≥ 0
i.e. if log x – 1 ≥ 0 ……..[∵ (log x)² > 0]
i.e. if log x ≥ 1
i.e. if log x ≥ log e ………[∵ log e = 1]
i.e. if x ≥ e
∴ f is increasing on [e, ∞)
f is decreasing if f'(x) ≤ 0
i.e. if \(\frac{\log x-1}{(\log x)^{2}}\) ≤ 0
i.e. if log x – 1 ≤ 0 ……..[∵ (log x)² > 0]
i.e. if log x ≤ 1
i.e. if log x ≤ log e
i.e. if x ≤ e
Also, x > 0 and x ≠ 1 because f(x) = \(\frac{x}{\log x}\) is not defined at x = 1.
∴ f is decreasing in (0, e] – {1}
Hence, f is increasing in [e, ∞) and decreasing in (0, e] – {1}.

Question 12.
An open box with a square base is to be made out of the given quantity of sheet of area a². Show that the maximum volume of the box is \(\frac{a^{3}}{6 \sqrt{3}}\).
Solution:
Let x be the side of square base and h be the height of the box.
Then x² + 4xh = a²
∴ h = \(\frac{a^{2}-x^{2}}{4 x}\) …….(1)
Let V be the volume of the box.
Then V = x²h


Hence, the maximum volume of the box is \(\frac{a^{3}}{6 \sqrt{3}}\) cu units.

Question 13.
Show that of all rectangles inscribed in a given circle, the square has the maximum area.
Solution:

Let ABCD be a rectangle inscribed in a circle of radius r.
Let AB = x and BC = y.
Then x² + y² = 4r² …….(1)
Area of rectangle = xy
= \(x \sqrt{4 r^{2}-x^{2}}\) ……[By (1)]
Let f(x) = x²(4r² – x²)
= 4r²x² – x⁴
∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\) (4r2x2 – x4)
= 4r² × 2x – 4x³
= 8r²x – 4x³
and f”(x) = \(\frac{d}{d x}\) (8r²x – 4x³)
= 8r² × 1 – 4 × 3x²
= 8r² – 12x²
For maximum area, f'(x) = 0
⇒ 8r²x – 4x³ = 0
⇒ 4x³ = 8r²x
⇒ x² = 2r² ……..[∵ x ≠ 0]
⇒ x = √2r …..[x > 0]
and f”(√2r) = 8r² – 12(√2r)² = -16r² < 0
∴ f(x) is maximum when x = √2r
If x = √2r, then from (1),
(√2r)² + y² = 4r²
⇒ y² = 4r² – 2r² = 2r²
⇒ y = √2r ……[∵ y > 0]
⇒ x = y
∴ rectangle is a square.
Hence, amongst all rectangles inscribed in a circle, the square has maximum area.

Question 14.
Show that a closed right circular cylinder of a given surface area has maximum volume if its height equals the diameter of its base.
Solution:
Let r be the radius of the base, h be the height and V be the volume of the closed right circular cylinder, whose surface area is a² sq units (which is given).
2πrh + 2πr² = a²
⇒ 2πr(h + r) = a²
⇒ h = \(\frac{a^{2}}{2 \pi r}\) – r ……(1)


Hence, the volume of the cylinder is maximum if its height is equal to the diameter of the base.

Question 15.
A window is in the form of a rectangle surmounted by a semicircle. If the perimeter is 30 m, find the dimensions so that the greatest possible amount of light may be admitted.
Solution:

Let x be the length, y be the breadth of the rectangle and r be the radius of the semicircle.
Then perimeter of the window = x + 2y + πr, where x = 2r
This is given to be 30 m
⇒ 2r + 2y + πr = 30
⇒ 2y = 30 – (π + 2)r
⇒ y = 15 – \(\frac{(\pi+2) r}{2}\) ……..(1)
The greatest possible amount of light may be admitted if the area of the window is maximized.
Let A be the area of the window.


Hence, the required dimensions of the window are as follows:
Length of rectangle = \(\left(\frac{60}{\pi+4}\right)\) metres
breadth of rectangle = \(\left(\frac{30}{\pi+4}\right)\) metres
radius of the semicircle = \(\left(\frac{30}{\pi+4}\right)\) metres

Question 16.
Show that the height of a right circular cylinder of greatest volume that can be inscribed in a right circular cone is one-third of that of the cone.
Solution:

Given the right circular cone of fixed height h and semi-vertical angle a.
Let R be the radius of the base and H be the height of the right circular cylinder that can be inscribed in the right circular cone.
In the figure, ∠GAO = α, OG = r, OA = h, OE = R, CE = H.
We have, \(\frac{r}{h}\) = tan α
∴ r = h tan α ……(1)
Since ∆AOG and ∆CEG are similar.



Hence, the height of the right circular cylinder is one-third of that of the cone.

Question 17.
A wire of length l is cut into two parts. One part is bent into a circle and the other into a square. Show that the sum of the areas of the circle and the square is the least if the radius of the circle is half of the side of the square.
Solution:
Let r be the radius of the circle and x be the length of the side of the square. Then
(circumference of the circle) + (perimeter of the square) = l
∴ 2πr + 4x = l
∴ r = \(\frac{l-4 x}{2 \pi}\)
A = (area of the circle) + (area of the square)
= πr² + x²

This shows that the sum of the areas of circle and square is least when the radius of the circle = (\(\frac{1}{2}\)) side of the square.

Question 18.
A rectangular sheet of paper of fixed perimeter with the sides having their lengths in the ratio 8 : 15 converted into an open rectangular box by folding after removing the squares of the equal area from all comers. If the total area of the removed squares is 100, the resulting box has maximum volume. Find the lengths of the rectangular sheet of paper.
Solution:

The sides of the rectangular sheet of paper are in the ratio 8 : 15.
Let the sides of the rectangular sheet of paper be 8k and 15k respectively.
Let x be the side of the square which is removed from the comers of the sheet of paper.
The total area of removed squares is 4x², which is given to be 100.
4x² = 100
⇒ x² = 25
⇒x = 5 ……[x > 0]
Now, the length, breadth, and height of the rectangular box are 15k – 2x, 8k – 2x, and x respectively.
Let V be the volume of the box.
Then V = (15k – 2x) (8k – 2x) . x
⇒ V = (120k² – 16kx – 30kx + 4x²) . x
⇒ V = 4x³ – 46kx² + 120k²x
\(\frac{d V}{d x}=\frac{d}{d x}\) (4x³ – 46kx² + 120k²x)
= 4 × 3x² – 46k × 2x + 120k² × 1
= 12x² – 92kx + 120k²
Since, volume is maximum when the square of side x = 5 is removed from the corners,
\(\left(\frac{d V}{d x}\right)_{\text {at } x=5}=0\)
⇒ 12(5)² – 92k(5) + 120k² = 0
⇒ 60 – 92k + 24k² = 0
⇒ 6k² – 23k + 15 = 0
⇒ 6k² – 18k – 5k + 15 = 0
⇒ 6k(k – 3) – 5 (k – 3) = 0
⇒ (k – 3)(6k – 5) = 0
⇒ k = 3 or k = \(\frac{5}{6}\)
If k = \(\frac{5}{6}\), then
8k – 2x = 8k – 10 < 0
∴ k ≠ \(\frac{5}{6}\)
∴ k = 3
∴ 8k = 8 × 3 = 24 and 15k = 15 × 3 = 45
Hence, the lengths of the rectangular sheet are 24 and 45.

Question 19.
Show that the altitude of the right circular cone of maximum volume that can be inscribed in a sphere of radius r is \(\frac{4 r}{3}\).
Solution:

Let x be the radius of the base and h be the height of the cone which is inscribed in a sphere of radius r.
In the figure, AD = h and CD = x = BD
Since, ΔABD and ΔBDE are similar,
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DE}}\)
BD² = AD . DE = AD (AE – AD)
x² = h(2r – h) …… (1)
Let V be the volume of the cone.


∴ V is maximum when h = \(\frac{4 r}{3}\)
Hence, the altitude (i.e. height) of the right circular cone of maximum volume = \(\frac{4 r}{3}\).

Question 20.
Show that the height of the cylinder of maximum volume that can be inscribed in a sphere of radius R is \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\). Also, find the maximum Volume.
Solution:
Let R be the radius and h be the height of the cylinder which is inscribed in a sphere of radius r cm.
Then from the figure,
\(R^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}=r^{2}\)
∴ R² = r² – \(\frac{h^{2}}{4}\) ………(1)
Let V be the volume of the cylinder.
Then V = πR²h



Hence, the volume of the largest cylinder inscribed in a sphere of radius ‘r’ cm = \(\frac{4 R^{3}}{3 \sqrt{3}}\) cu cm.

Question 21.
Find the maximum and minimum values of the function f(x) = cos²x + sin x.
Solution:
f(x) = cos²x + sin x
∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\) (cos²x + sin x)
= 2 cos x . \(\frac{d}{d x}\) (cos x) + cos x
= 2 cos x(-sin x) + cos x
= -sin 2x + cos x
and f”(x) = \(\frac{d}{d x}\) (-sin 2x + cos x)
= -cos 2x . \(\frac{d}{d x}\) (2x) – sin x
= -cos 2x × 2 – sin x
= -2 cos 2x – sin x
For extreme values of f(x), f'(x) = 0
-sin 2x + cos x = 0
-2 sin x cos x + cos x = 0
cos x (-2 sin x + 1) = 0
cos x = 0 or -2 sin x + 1 = 0
cos x = cos \(\frac{\pi}{2}\) or sin x = \(\frac{1}{2}\) = sin \(\frac{\pi}{6}\)
∴ x = \(\frac{\pi}{2}\) or x = \(\frac{\pi}{6}\)

(i) f”(\(\frac{\pi}{2}\)) = -2 cos π – sin \(\frac{\pi}{2}\)
= -2(-1) – 1
= 1 > 0
∴ by the second derivative test, f is minimum at x = \(\frac{\pi}{2}\) and minimum value of f at x = \(\frac{\pi}{2}\)
= f(\(\frac{\pi}{2}\))
= \(\cos ^{2} \frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2}\)
= 0 + 1
= 1

(ii) f”(\(\frac{\pi}{6}\)) = \(-2 \cos \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{6}\)
= \(-2\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\)
= \(-\frac{3}{2}\) < 0
∴ by the second derivative test, f is maximum at x = \(\frac{\pi}{6}\) and maximum value of f at x = \(\frac{\pi}{6}\)
= f(\(\frac{\pi}{6}\))
= \(\cos ^{2} \frac{\pi}{6}+\sin \frac{\pi}{6}\)
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}\)
= \(\frac{5}{4}\)
Hence, the maximum and minimum values of the function f(x) are \(\frac{5}{4}\) and 1 respectively.

Balbharti 12th Maharashtra State Board Maths Solutions Book Pdf Chapter 1 Differentiation Miscellaneous Exercise 1 Questions and Answers.

Maharashtra State Board 12th Maths Solutions Chapter 1 Differentiation Miscellaneous Exercise 1

(I) Choose the correct option from the given alternatives:

Question 1.
Let f(1) = 3, f'(1) = \(-\frac{1}{3}\), g(1) = -4 and g'(1) = \(-\frac{8}{3}\). The derivative of \(\sqrt{[f(x)]^{2}+[g(x)]^{2}}\) w.r.t. x at x = 1 is
(a) \(-\frac{29}{15}\)
(b) \(\frac{7}{3}\)
(c) \(\frac{31}{15}\)
(d) \(\frac{29}{15}\)
Answer:
(d) \(\frac{29}{15}\)

Question 2.
If y = sec(tan^-1 x), then \(\frac{d y}{d x}\) at x = 1, is equal to
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) 1
(c) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(d) 2
Answer:
(c) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Question 3.
If f(x) = \(\sin ^{-1}\left(\frac{4^{x+\frac{1}{2}}}{1+2^{4 x}}\right)\), which of the following is not the derivative of f(x)?
(a) \(\frac{2 \cdot 4^{x} \log 4}{1+4^{2 x}}\)
(b) \(\frac{4^{x+1} \log 2}{1+4^{2 x}}\)
(c) \(\frac{4^{x+1} \log 4}{1+4^{4 x}}\)
(d) \(\frac{2^{2(x+1)} \log 2}{1+2^{4 x}}\)
Answer:
(c) \(\frac{4^{x+1} \log 4}{1+4^{4 x}}\)

Question 4.
If x^y = y^x, then\(\frac{d y}{d x}\) = _______
(a) \(\frac{x(x \log y-y)}{y(y \log x-x)}\)
(b) \(\frac{y(y \log x-x)}{x(x \log y-y)}\)
(c) \(\frac{y^{2}(1-\log x)}{x^{2}(1-\log y)}\)
(d) \(\frac{y(1-\log x)}{x(1-\log y)}\)
Answer:
(b) \(\frac{y(y \log x-x)}{x(x \log y-y)}\)

Question 5.
If y = sin (2 sin^-1 x), then \(\frac{d y}{d x}\) = _______
(a) \(\frac{2-4 x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
(b) \(\frac{2+4 x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
(c) \(\frac{4 x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
(d) \(\frac{1-2 x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Answer:
(a) \(\frac{2-4 x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

Question 6.
If y = \(\tan ^{-1}\left(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}\right)+\sin \left[2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\right]\), then \(\frac{d y}{d x}\) = _______
(a) \(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
(b) \(\frac{1-2 x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
(c) \(\frac{1-2 x}{2 \sqrt{1-x^{2}}}\)
(d) \(\frac{1-2 x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
Answer:
(c) \(\frac{1-2 x}{2 \sqrt{1-x^{2}}}\)

Question 7.
If y is a function of x and log(x + y) = 2xy, then the value of y'(0) = _______
(a) 2
(b) 0
(c) -1
(d) 1
Answer:
(d) 1

Question 8.
If g is the inverse of function f and f'(x) = \(\frac{1}{1+x^{7}}\), then the value of g'(x) is equal to:
(a) 1 + x⁷
(b) \(\frac{1}{1+[g(x)]^{7}}\)
(c) 1 + [g(x)]⁷
(d) 7x⁶
Answer:
(c) 1 + [g(x)]⁷

Question 9.
If \(x \sqrt{y+1}+y \sqrt{x+1}=0\) and x ≠ y, then \(\frac{d y}{d x}\) = _______
(a) \(\frac{1}{(1+x)^{2}}\)
(b) \(-\frac{1}{(1+x)^{2}}\)
(c) (1 + x)²
(d) \(-\frac{x}{x+1}\)
Answer:
(b) \(-\frac{1}{(1+x)^{2}}\)

Question 10.
If y = \(\tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)\), where -a < x < a, then \(\frac{d y}{d x}\) = _______
(a) \(\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)
(b) \(\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)
(c) \(-\frac{1}{2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)
(d) \(\frac{1}{2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)
Answer:
(c) \(-\frac{1}{2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)
[Hint: Put x = a cos θ]

Question 11.
If x = a (cos θ + θ sin θ), y = a (sin θ – θ cos θ), then \(\left[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right]_{\theta=\frac{\pi}{4}}\) = _______
(a) \(\frac{8 \sqrt{2}}{a \pi}\)
(b) \(-\frac{8 \sqrt{2}}{a \pi}\)
(c) \(\frac{a \pi}{8 \sqrt{2}}\)
(d) \(\frac{4 \sqrt{2}}{a \pi}\)
Answer:
(a) \(\frac{8 \sqrt{2}}{a \pi}\)

Question 12.
If y = a cos (log x) and \(A \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+B \frac{d y}{d x}+C=0\), then the values of A, B, C are _______
(a) x², -x, -y
(b) x², x, y
(c) x², x, -y
(d) x², -x, y
Answer:
(b) x², x, y

(II) Solve the following:

Question 1.


Let u(x) = f[g(x)], v(x) = g[f(x)] and w(x) = g[g(x)]. Find each derivative at x = 1, if it exists i.e. find u'(1), v'(1) and w'(1). if it doesn’t exist then explain why?
Solution:

Question 2.
The values of f(x), g(x), f'(x) and g'(x) are given in the following table:

Match the following:

Solution:

Question 3.
Suppose that the functions f and g and their derivatives with respect to x have the following values at x = 0 and x = 1.

(i) The derivative of f[g(x)] w.r.t. x at x = 0 is _______
(ii) The derivative of g[f(x)] w.r.t. x at x = 0 is _______
(iii) The value of \(\left[\frac{d}{d x}\left[x^{10}+f(x)\right]^{-2}\right]_{x=1}\) is _______
(iv) The derivative of f[(x+g(x))] w.r.t. x at x = 0 is _______
Solution:

Question 4.
Differentiate the following w.r.t. x:
(i) \(\sin \left[2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\right]\)
Solution:
Let y = \(\sin \left[2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)\right]\)
Put x = cos θ, Then θ = cos^-1 x and

(ii) \(\sin ^{2}\left[\cot ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\right]\)
Solution:
Let y = \(\sin ^{2}\left[\cot ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)\right]\)
Put x = cos θ. Then θ = cos^-1 x and

(iii) \(\tan ^{-1}\left[\frac{\sqrt{x}(3-x)}{1-3 x}\right]\)
Solution:

(iv) \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{2}\right)\)
Solution:
Let y = \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{2}\right)\)
Put x = cos θ. Then θ = cos^-1 x and

(v) \(\tan ^{-1}\left(\frac{x}{1+6 x^{2}}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-10 x^{2}}{7 x}\right)\)
Solution:

(vi) \(\tan ^{-1}\left[\sqrt{\frac{\sqrt{1+x^{2}+x}}{\sqrt{1+x^{2}}-x}}\right]\)
Solution:

Question 5.
(i) If \(\sqrt{y+x}+\sqrt{y-x}=c\), show that \(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}}-1}\)
Solution:
\(\sqrt{y+x}+\sqrt{y-x}=c\)
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

(ii) If \(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}=1\), then show that \(\frac{d y}{d x}=-\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}\)
Solution:
\(x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}=1\)
\(y \sqrt{1-x^{2}}+x \sqrt{1-y^{2}}=1\)
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

(iii) If x sin(a + y) + sin a cos(a + y) = 0, then show \(\frac{d y}{d x}=\frac{\sin ^{2}(a+y)}{\sin a}\)
Solution:
x sin(a + y) + sin a . cos (a + y) = 0 ….. (1)
Differentiating w.r.t. x, we get

(iv) If sin y = x sin(a + y), then show that \(\frac{d y}{d x}=\frac{\sin ^{2}(a+y)}{\sin a}\)
Solution:

(v) If x = \(e^{\frac{x}{y}}\), then show that \(\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x \log x}\)
Solution:
x = \(e^{\frac{x}{y}}\)
\(\frac{x}{y}\) = log x …..(1)
y = \(\frac{x}{\log x}\)

(vi) If y = f(x) is a differentiable function of x, then show that \(\frac{d^{2} x}{d y^{2}}=-\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-3} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}\)
Solution:
If y = f(x) is a differentiable function of x such that inverse function x = f^-1(y) exists,

Question 6.
(i) Differentiate \(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)\) w.r.t. \(\tan ^{-1}\left(\frac{2 x \sqrt{1-x^{2}}}{1-2 x^{2}}\right)\)
Solution:

(ii) Differentiate \(\log \left[\frac{\sqrt{1+x^{2}}+x}{\sqrt{1+x^{2}}-x}\right]\) w.r.t. cos(log x)
Solution:

(iii) Differentiate \(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\right)\) w.r.t. \(\cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{2 \sqrt{1+x^{2}}}}\right)\)
Solution:

Question 7.
(i) If y² = a² cos²x + b² sin²x, show that \(y+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{a^{2} b^{2}}{y^{3}}\)
Solution:
y² = a² cos²x + b² sin²x …… (1)
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

(ii) If log y = log(sin x) – x², show that \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 x \frac{d y}{d x}+\left(4 x^{2}+3\right) y=0\)
Solution:

(iii) If x = a cos θ, y = b sin θ, show that \(a^{2}\left[y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]+b^{2}=0\)
Solution:
x = a cos θ, y = b sin θ
Differentiating x and y w.r.t. θ, we get

(iv) If y = A cos(log x) + B sin(log x), show that x²y₂ + xy₁ + y = o.
Solution:
y = A cos (log x) + B sin (log x) …… (1)
Differentiating both sides w.r.t. x, we get

(v) If y = A e^mx + B e^nx, show that y₂ – (m + n) y₁ + (mn) y = 0.
Solution:
y = A e^mx + B e^nx
Differentiating w.r.t. x, we get